Question

已知抛物线y=ax²+6ax+c交x轴负半轴于A，B两点，以AB为边的矩形ABCD的顶点C，D在第二象限，过D点的直线y=ax+3a与x轴交于E．
（1）求S_△ADE：S_矩形ABCD；
（2）当S_△ADE=1，且抛物线的顶点在CD边上时，求抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线上是否存在一点P，使△APB为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的解析式可得，抛物线的对称轴为x=-3，由直线DE的解析式可得E（-3，0），因此点E正好在抛物线的对称轴上，即AE=

1

2

AB，然后分别表示出△ADE和矩形的面积，即可得到它们的比例关系．
（2）利用抛物线的解析式，可求得抛物线的顶点坐标，和A、B两点的坐标，即可得到AB、AD的长，然后分别表示出△ADE和矩形的面积表达式，联立两式即可求得a、c的值．
（3）根据抛物线的解析式可得到A、B的坐标，显然A、B都不可能是直角顶点，那么只有一种可能，即∠APB=90°，可设出点P的坐标，利用AP⊥BP，即两直线的斜率的积为-1即可求得点P的坐标．

解答：解：（1）易知：抛物线的对称轴为x=-3，E（-3，0）；
则E点在抛物线的对称轴上，
即AE=BE=

1

2

AB；
由于S_△ADE=

1

2

AE•AD=

1

4

AB•AD=

1

4

S_矩形ABCD；
故S_△ADE：S_矩形ABCD=1：4．

（2）由（1）知：S_矩形ABCD=4S_△ADE=4；
∴AB═BC=2，
∵E（-3，0），
∴抛物线的顶点坐标为：（-3，2），B（-2，0），
设y=a（x+3）²+2，
∴a+2=0，
解得：a=-2，
∴抛物线的解析式为：y=-2（x+3）²+2=-2x²-12x-16．

（3）根据（2）得A（-4，0），B（-2，0）；
设P（x，-2x²-12x-16），
由于∠PAB和∠PBA都不可能是直角，
则只有一种情况：AP⊥PB，
∵互相垂直的两条直线的斜率的积等于-1，
∴

-2x2-12x-16

x+4

•

-2x2-12x-16

x+2

=-1，
整理得：4x²+24x+33=0，
解得x=

-6± 3

2

，
代入抛物线的解析式中，可得P点坐标为：
P（

-6+ 3

2

，

1

2

）或（

-6- 3

2

，

1

2

）．

点评：此题主要考查了矩形的性质、抛物线的对称性、图形面积的计算方法、二次函数解析式的确定以及直角三角形的判定方法等知识，由于此题的数据大都是未知数，而且计算量较大，因此难度也较大．