Question

如图，已知点A的坐标是（-1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，连接AC，BC，过A，B，C三点作抛物线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，连接BD，求直线BD的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB=∠CBD？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
第三问改成，在（2）的条件下，点P是直线BC下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△PCD的面积是△BCD面积的三分之一，求此时点P的坐标．

Answer 1

解：（1）∵以AB为直径作⊙O′，交y轴的负半轴于点C，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
又∵∠OCB+∠OBC=90°，
∴∠OCA=∠OBC，
又∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴．
又∵A（-1，0），B（9，0），
∴，
解得OC=3（负值舍去）．
∴C（0，-3），
故设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-9），
∴-3=a（0+1）（0-9），解得a=，
∴二次函数的解析式为y=（x+1）（x-9），
即y=x²-x-3．

（2）∵AB为O′的直径，且A（-1，0），B（9，0），
∴OO′=4，O′（4，0），
∵点E是AC延长线上一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，
∴∠BCD=∠BCE=×90°=45°，
连接O′D交BC于点M，
则∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°，OO′=4，O′D=AB=5．
∴O′D⊥x轴
∴D（4，-5）．
∴设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0）
∴
解得
∴直线BD的解析式为y=x-9．

（3）假设在抛物线上存在点P，使得∠PDB=∠CBD，
解法一：设射线DP交⊙O′于点Q，则=．
分两种情况（如图所示）：
①∵O′（4，0），D（4，-5），B（9，0），C（0，-3）．
∴把点C、D绕点O′逆时针旋转90°，使点D与点B重合，则点C与点Q₁重合，
因此，点Q₁（7，-4）符合=，
∵D（4，-5），Q₁（7，-4），
∴用待定系数法可求出直线DQ₁解析式为y=x-．
解方程组
得
∴点P₁坐标为（，），坐标为（，）不符合题意，舍去．
②∵Q₁（7，-4），
∴点Q₁关于x轴对称的点的坐标为Q₂（7，4）也符合=．
∵D（4，-5），Q₂（7，4）．
∴用待定系数法可求出直线DQ₂解析式为y=3x-17．
解方程组
得，
即
∴点P₂坐标为（14，25），坐标为（3，-8）不符合题意，舍去．
∴符合条件的点P有两个：P₁（，），P₂（14，25）．

解法二：分两种情况（如图所示）：
①当DP₁∥CB时，能使∠PDB=∠CBD．
∵B（9，0），C（0，-3）．
∴用待定系数法可求出直线BC解析式为y=x-3．
又∵DP₁∥CB，
∴设直线DP₁的解析式为y=x+n．
把D（4，-5）代入可求n=-，
∴直线DP₁解析式为y=x-．
解方程组
得
∴点P₁坐标为（，）或（，）（不符合题意舍去）．
②在线段O′B上取一点N，使BN=DM时，得△NBD≌△MDB（SAS），
∴∠NDB=∠CBD．
由①知，直线BC解析式为y=x-3．
取x=4，得y=-，
∴M（4，-），
∴O′N=O′M=，
∴N（，0），
又∵D（4，-5），
∴直线DN解析式为y=3x-17．
解方程组
得，

∴点P₂坐标为（14，25），坐标为（3，-8）不符合题意，舍去．
∴符合条件的点P有两个：P₁（，），P₂（14，25）．

解法三：分两种情况（如图所示）：
①求点P₁坐标同解法二．
②过C点作BD的平行线，交圆O′于G，
此时，∠GDB=∠GCB=∠CBD．
由（2）题知直线BD的解析式为y=x-9，
又∵C（0，-3）
∴可求得CG的解析式为y=x-3，
设G（m，m-3），作GH⊥x轴交于x轴与H，
连接O′G，在Rt△O′GH中，利用勾股定理可得，m=7，
由D（4，-5）与G（7，4）可得，
DG的解析式为y=3x-17，
解方程组
得，
即
∴点P₂坐标为（14，25），坐标为（3，-8）不符合题意舍去．
∴符合条件的点P有两个：P₁（，），P₂（14，25）．
说明：本题解法较多，如有不同的正确解法，请按此步骤给分．

解：
过B作BM⊥CD于M，
B（9，0），C（0，-3），由勾股定理得：BC==3，
∵∠BCD=45°，
∴BM=CM，
由勾股定理得：BM=3，
∵△PCD的面积是△BCD面积的三分之一，
∴根据△CDB和△CDP有一条公共边CD，得出P到CD的高是3÷3=，
根据C（0，-3），D（4，-5）的坐标求出直线CD的解析式是y=x-3，
把直线CD向上平移单位得出直线y=x-3+，把直线CD向下平移单位得出直线y=x-3-，
则，，
解得：（因为此点不在直线BC下方舍去），，（因为此点不在直线BC下方舍去），，．
即P的坐标是（，）或（，）．
分析：（1）已知了A、B两点的坐标即可得出OA、OB的长，在直角三角形ACB中由于OC⊥AB，因此可用射影定理求出OC的长，即可得出C点的坐标．然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）本题的关键是得出D点的坐标，CD平分∠BCE，如果连接O′D，那么根据圆周角定理即可得出∠DO′B=2∠BCD=∠BCE=90°由此可得出D的坐标为（4，-5）．根据B、D两点的坐标即可用待定系数法求出直线BD的解析式；
（3）本题要分两种情况进行讨论：
①过D作DP∥BC，交D点右侧的抛物线于P，此时∠PDB=∠CBD，可先用待定系数法求出直线BC的解析式，然后根据BC与DP平行，那么直线DP的斜率与直线BC的斜率相同，因此可根据D的坐标求出DP的解析式，然后联立直线DP的解析式和抛物线的解析式即可求出交点坐标，然后将不合题意的舍去即可得出符合条件的P点．
②同①的思路类似，先作与∠CBD相等的角：在O′B上取一点N，使BN=BM．可通过证△NBD≌△MDB，得出∠NDB=∠CBD，然后同①的方法一样，先求直线DN的解析式，进而可求出其与抛物线的交点即P点的坐标．
综上所述可求出符合条件的P点的值．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形相似及全等、探究角相等的构成情况等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．