Question

【题目】如图，点C在以AB为直径的⊙O上．AE与过点C的切线垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E，过B作BF∥AE交⊙O于点F，连接CF．

（1）求证：∠B＝2∠F；

（2）已知AE＝8，DE＝2，过B作BF∥AE交⊙O于F，连接CF，求CF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）CF＝2．

【解析】

（1）连接OC，根据切线的性质得出OC⊥CD，即可证得OC∥AD，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得出∠DAB＝2∠F，进而即可证得结论；

（2）连接AF、AC，延长CO交⊙O于H，过O作OG⊥AE于G，首先根据平行线的性质证得∠ACH＝∠HCF然后根据垂径定理证得AH＝FH，根据垂直平分线的性质得出AC＝FC，进而通过证得四边形OCDG是矩形求得半径，然后根据勾股定理求得OG．得出CD，最后根据勾股定理求得AC，从而求得FC．

（1）证明：连接OC，

∵CD是⊙O的切线，

∴OC⊥CD，

∵AD⊥CD，

∴OC∥AD，

∴∠BOC＝∠DAB，

由圆周角定理得，∠BOC＝2∠F，

∴∠DAB＝2∠F，

∵AD∥BF，

∴∠B＝∠DAB，

∴∠B＝2∠F；

（2）解：连接AF、AC，延长CO交⊙O于H，过O作OG⊥AE于G，

∵OC∥AD，AE∥BF，

∴OC∥BF，

∴∠F＝∠HCF，

∵∠B＝2∠F，

∴∠B＝2∠HCF，

∵∠ACF＝∠B，

∴∠ACF＝2∠HCF，

∴∠ACH＝∠HCF，

∴，

∴CH垂直平分AF，

∴CF＝AC，

∵OG⊥AE，

∴AG＝EG＝4，

∴GD＝GE+ED＝4+2＝6，

∵∠OGD＝∠D＝∠OCD＝90°，

∴四边形OCDG是矩形，

∴OC＝GD＝6，OG＝CD，

∵OA＝OC＝6，AG＝4，

∴OG＝

∴DC＝ ，

在Rt△ADC中，AC＝

∴CF＝AC＝．