题目内容
【题目】如图,已知四边形ABCD内接于⊙O,点E在CB的延长线上,连结AC、AE,∠ACB=∠BAE=45°.
(1)求证:AE是⊙O的切线;
(2)若AB=AD,AC=,tan∠ADC=3,求BE的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】试题分析:(1)连接OA、OB,由圆周角定理得出∠AOB=2∠ACB=90°,由等腰直角三角形的性质得出∠OAB=∠OBA=45°,求出∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°,即可得出结论;(2)过点A作AF⊥CD于点F,由AB=AD,得到∠ACD=∠ACB=45°,在Rt△AFC中可求得AF=3,在Rt△AFD中求得DF=1,所以AB== ,CD= CF+DF=4,再证明△ABE∽△CDA,得出,即可求出BE的长度;
试题解析:
(1)证明:连结OA,OB,
∵∠ACB=45°,
∴∠AOB=2∠ACB= 90°,
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA=45°,
∵∠BAE=45°,
∴∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°,
∴OA⊥AE.
∵点A在⊙O上,
∴AE是⊙O的切线.
(2)解:过点A作AF⊥CD于点F,则∠AFC=∠AFD=90°.
∵AB=AD,
∴ =
∴∠ACD=∠ACB=45°,
在Rt△AFC中,
∵AC=,∠ACF=45°,
∴AF=CF=AC·sin∠ACF =3,
∵在Rt△AFD中, tan∠ADC=,
∴DF=1,
∴,
且CD= CF+DF=4,
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠ABE=∠CDA,
∵∠BAE=∠DCA,
∴△ABE∽△CDA,
∴,
∴,
∴.
【题目】某商场为了吸引顾客,举行抽奖活动,并规定:顾客每购买100元的商品,就可随机抽取一张奖券,抽得奖券“紫气东来”、“花开富贵”、“吉星高照”,就可以分别获得100元、50元、20元的购物券,抽得“谢谢惠顾”不赠购物券;如果顾客不愿意抽奖,可以直接获得购物券10元。小明购买了100元的商品,他看到商场公布的前10000张奖券的抽奖结果如下:
奖券种类 | 紫气东来 | 花开富贵 | 吉星高照 | 谢谢惠顾 |
出现张数(张) | 500 | 1000 | 2000 | 6500 |
(1)求“紫气东来”奖券出现的频率;
(2)请你帮助小明判断,抽奖和直接获得购物卷,哪种方式更合算?并说明理由。