题目内容
如图,在△ABC中∠BAC=90°,AB=AC=2,圆A的半径1,点O在BC边上运动(与点B,C不重合),设BO=x,△AOC的面积是y.(1)求y关于x的函数关系式及自变量的取值范围;
(2)以点O为圆心,BO为半径作圆O,求当⊙O与⊙A相切时,△AOC的面积.
【答案】分析:(1)由∠BAC=90°,AB=AC=2 ,根据勾股定理即可求得BC,且∠B=∠C,然后作AM⊥BC,由S△AOC=OC•AM,即可求得y关于x的函数解析式;
(2)由⊙O与⊙A外切或内切,即可求得ON的值,继而求得△AOC的面积.
解答:解:(1)∵∠BAC=90°,AB=AC=2 ,
由勾股定理知BC==4,且∠B=∠C,
作AM⊥BC,
则∠BAM=45°,BM=CM=2=AM,
∵BO=x,则OC=4-x,
∴S△AOC=OC•AM=×(4-x)×2=4-x,
即y=4-x (0<x<4);
(2)①作AD⊥BC于点D,
∵△ABC为等腰直角三角形,BC=4,
∴AD为BC边上的中线,
∴AD==2,
∴S△AOC=,
∵BO=x,△AOC的面积为y,
∴y=4-x(0<x<4),
②过O点作OE⊥AB交AB于E,
∵⊙A的半径为1,OB=x,
当两圆外切时,
∴OA=1+x,
∵△ABC为等腰直角三角形,
∴∠B=45°,
∴BE=OE=,
∴在△AEO中,AO2=AE2+OE2=(AB-BE)2+OE2,
∴(1+x)2=(2-)2+()2,
∴x=,
∵△AOC面积=y=4-x,
∴△AOC面积=;
当两圆内切时,
∴OA=x-1,
∵AO2=AE2+OE2=(AB-BE)2+OE2,
∴(x-1)2=(2-)2+()2,
∴x=,
∴△AOC面积=y=4-x=4-=,
∴△AOC面积为或.
点评:此题考查了相切两圆的性质,三角形面积的求解方法,以及勾股定理的应用等知识.此题综合性较强,难度适中,解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用.
(2)由⊙O与⊙A外切或内切,即可求得ON的值,继而求得△AOC的面积.
解答:解:(1)∵∠BAC=90°,AB=AC=2 ,
由勾股定理知BC==4,且∠B=∠C,
作AM⊥BC,
则∠BAM=45°,BM=CM=2=AM,
∵BO=x,则OC=4-x,
∴S△AOC=OC•AM=×(4-x)×2=4-x,
即y=4-x (0<x<4);
(2)①作AD⊥BC于点D,
∵△ABC为等腰直角三角形,BC=4,
∴AD为BC边上的中线,
∴AD==2,
∴S△AOC=,
∵BO=x,△AOC的面积为y,
∴y=4-x(0<x<4),
②过O点作OE⊥AB交AB于E,
∵⊙A的半径为1,OB=x,
当两圆外切时,
∴OA=1+x,
∵△ABC为等腰直角三角形,
∴∠B=45°,
∴BE=OE=,
∴在△AEO中,AO2=AE2+OE2=(AB-BE)2+OE2,
∴(1+x)2=(2-)2+()2,
∴x=,
∵△AOC面积=y=4-x,
∴△AOC面积=;
当两圆内切时,
∴OA=x-1,
∵AO2=AE2+OE2=(AB-BE)2+OE2,
∴(x-1)2=(2-)2+()2,
∴x=,
∴△AOC面积=y=4-x=4-=,
∴△AOC面积为或.
点评:此题考查了相切两圆的性质,三角形面积的求解方法,以及勾股定理的应用等知识.此题综合性较强,难度适中,解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用.
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