题目内容

(本题满分10分)(1)探究新知:

①如图,已知ADBCADBC,点MN是直线CD上任意两点.试判断△ABM与△ABN的面积是否相等。 

②如图,已知ADBEADBEABCDEF,点M是直线CD上任一点,点G是直线EF上任一点.试判断△ABM与△ABG的面积是否相等,并说明理由.  

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)结论应用:    

如图③,抛物线的顶点为C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点D.试探究在抛物线上是否存在除点C以外的点E,使得△ADE与△ACD的面积相等? 若存在,请求出此时点E的坐标,若不存在,请说明理由.

    

 

 

解:﹙1﹚相等      ---------------------1分

 

②相等.理由如下:分别过点DEDHABEKAB,垂足分别为HK

则∠DHA=∠EKB=90°.∵ ADBE,∴ ∠DAH=∠EBK.∵ ADBE

∴ △DAH≌△EBK.  ∴ DHEK.∵ CDABEF,   

SABMSABG, ∴  SABM SABG. -------------4分

﹙2﹚答:存在.---------------------5分

解:因为抛物线的顶点坐标是C(1,4),所以,可设抛物线的表达式为.

又因为抛物线经过点A(3,0),将其坐标代入上式,得,解得.

∴ 该抛物线的表达式为,即

D点坐标为(0,3).

设直线AD的表达式为,代入点A的坐标,得,解得.

∴ 直线AD的表达式为.   ---------------------7分

C点作CGx轴,垂足为G,交AD于点H.则H点的纵坐标为

CHCGHG=4-2=2.

设点E的横坐标为m,则点E的纵坐标为.   

E点作EFx轴,垂足为F,交AD于点P,则点P的纵坐标为EFCG

由﹙1﹚可知:若EPCH,则△ADE与△ADC的面积相等.

 

 

①若E点在直线AD的上方﹙如图③-1﹚,

PFEF

EPEFPF.∴. 

解得

时,PF=3-2=1,EF=1+2=3.  ∴ E点坐标为(2,3).  

同理 当m=1时,E点坐标为(1,4),与C点重合. 

②若E点在直线AD的下方﹙如图③-2,③-3﹚,

.解得. 

时,E点的纵坐标为;   

时,E点的纵坐标为.  

∴ 在抛物线上存在除点C以外的点E,使得△ADE与△ACD的面积相等,E点的坐标为E1(2,3);.--------------10分

解析:

此题有较强的综合性,难度较大。代数与几何兼有,既有几何中的三角形全等、平行线的性质,又有代数中的二次函数。

 

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