Question

已知：关于x的二次函数（a＞0），点A（n，y₁）、B（n+1，y₂）、C（n+2，y₃）都在这个二次函数的图象上，其中n为正整数．
（1）y₁=y₂，请说明a必为奇数；
（2）设a=11，求使y₁≤y₂≤y₃成立的所有n的值；
（3）对于给定的正实数a，是否存在n，使△ABC是以AC为底边的等腰三角形？如果存在，求n的值（用含a的代数式表示）；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点A（n，y₁）、B（n+1，y₂）都在二次函数（a＞0）的图象上，
∴。
∵y₁=y₂，
∴，整理得：a=2n+1。
∵n为正整数，∴a必为奇数。
（2）当a=11时，∵y₁＜y₂＜y₃，
∴。
化简得：。解得：。
∵n为正整数，∴n=1、2、3、4。
（3）存在。
假设存在，则AB=AC，
如图所示，过点B作BN⊥x轴于点N，过点A作AD⊥BN于点D，CE⊥BN于点E，

∵x_A=n，x_B=n+1，x_C=n+2，∴AD=CE=1。
在Rt△ABD与Rt△CBE中，AB=BC，AD=CE，
∴Rt△ABD≌Rt△CBE（HL）。
∴∠BAD=∠CBE，即BN为顶角的平分线。
由等腰三角形性质可知，点A、C关于BN对称。
∴BN为抛物线的对称轴，点B为抛物线的顶点，
∴。∴。
∴存在n，使△ABC是以AC为底边的等腰三角形，。

（1）将点A和点B的坐标代入二次函数的解析式，利用y₁=y₂得到用n表示a的式子，即可得到答案；
（2）将a=11代入解析式后，由题意列出不等式组，求得此不等式组的正整数解。
（3）本问为存在型问题，如图所示，可以由三角形全等及等腰三角形的性质，判定点B为抛物线的顶点，点A、C关于对称轴对称，于是得到，从而可以求出。