Question

如图，直线与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）．

（1）求点P运动的速度是多少？
（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？
（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值．

Answer 1

解：（1）∵直线与坐标轴分别交于点A、B，
∴x=0时，y=4；y=0时，x=8。∴BO=4，AO=8。∴。
当t秒时，QO=FQ=t，则EP=t，
∵EP∥BO，∴△ABO∽△ARP。∴，即。
∴AP=2t。
∵动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，
∴点P运动的速度是每秒2个单位长度。
（2）∵当OP=OQ时，PE与QF重合，此时t=，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动，
∴分0＜t＜和＜t≤4两种情况讨论：
如图1，当0＜t＜。即点P在点Q右侧时，若PQ=PE，矩形PEFQ为正方形，

∵OQ=FQ=t，PA=2t，
∴QP=8－t－2t=8－3t。
∴8－3t=t。
解得：t=2。
如图2，当＜t≤4，即点P在点Q左侧时，若PQ=PE，矩形PEFQ为正方形，∵OQ=t，PA=2t，∴OP=8－2t。

∴。
∴。
解得：t=4。
∴当t为2秒或4秒时，矩形PEFQ为正方形。
（3）同（2）分0＜t＜和＜t≤4两种情况讨论：
如图1，当0＜t＜时，Q在P点的左边
∵OQ=t，PA=2t，∴QP=8－t－2t=8－3t，
∴。
∴当t=时，S的最大值为，
如图2，当＜t≤4时，Q在P点的右边，
∵OQ=t，PA=2t，∴。
∴。
∵当＜t≤4时，S随t的增大而增大，∴t=4时，S的最大值为：3×4²﹣8×4=16。
综上所述，当t=4时，S的最大值为：16。

试题分析：（1）根据直线与坐标轴分别交于点A、B，得出A，B点的坐标，再利用EP∥BO，得出，据此可以求得点P的运动速度。
（2）当PQ=PE时，以及当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，分别求出即可。
（3）根据（2）中所求得出S与t的函数关系式，从而利用二次函数性质求出即可。