题目内容

【题目】(1)如图①,在△ABC中,已知∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O,过点O作EF∥BC交AB、AC于E、F.请写出图中的等腰三角形,并找出EF与BE、CF间的关系;

(2) 如图②中∠ABC的平分线与三角形ABC的外角∠ACG的平分线CO交于O,过O点作OE∥BC交AB于E,交AC于F.图中有等腰三角形吗?如果有,请写出来.EF与BE、CF间的关系如何?请说明理由.

【答案】(1)等腰三角形有△EBO和△CFO,EF=BE+CF;(2)有等腰三角形,它们分别是△EBO和△CFO.EF=BE-CF.理由见解析.

【解析】

(1)由EFBC可得∠EOB=OBC,由OB平分∠ABC可得∠EBO=OBC,由此得到∠EOB=EBO,然后即可证明BEO是等腰三角形,同理可证:CFO是等腰三角形;根据等腰三角形的性质求得OE=EB,OF=FC,从而证得EF=BE+FC;

(2)根据角平分线的定义以及平行线的性质进行角之间的等量代换,根据等边对等角,发现两个等腰三角形:BOECOF,即可得出所求的结论.

(1)等腰三角形有EBOCFO,EF=BE+CF.

(2)有等腰三角形,它们分别是EBOCFO.

EF=BE-CF.

理由:BO平分∠ABC,

∴∠ABO=OBC.

OEBC,

∴∠EOB=OBC,

∴∠EOB=EBO,

BE=EO.

同理,CF=OF,

EO=EF+OF,

EF=EO-OF=BE-CF.

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