题目内容

【题目】如图,△ABC和△AOD是等腰直角三角形,AB=ACAO=AD,∠BAC=∠OAD=90°,点O是△ABC内的一点,BOC=130°.

(1)求证:OB=DC

(2)求DCO的大小;

(3)设AOB=α,那么当α为多少度时,△COD是等腰三角形.

【答案】(1)证明见解析;(2)40°;(3)当α的度数为115°85°145°时,△AOD是等腰三角形.

【解析】

(1)由已知证明AOB≌△ADC,根据全等三角形的性质即可证得;

(2)由∠BOC=130°,根据周角的定义可得∠BOA+AOC=230°,再根据全等三角形的性质继而可得∠ADC+AOC=230°,由∠DAO=90°,在四边形AOCD中,根据四边形的内角和即可求得∠DCO的度数

(3)分三种情况进行讨论即可得.

(1)∵∠BAC=OAD=90°,

∴∠BAC﹣CAO=OAD﹣CAO,

∴∠DAC=OAB,

AOBADC

∴△AOB≌△ADC,

OB=DC;

(2)∵∠BOC=130°,

∴∠BOA+AOC=360°﹣130°=230°,

∵△AOB≌△ADC

AOB=ADC,

∴∠ADC+AOC=230°,

又∵△AOD是等腰直角三角形,

∴∠DAO=90°,

∴四边形AOCD中,∠DCO=360°﹣90°﹣230°=40°;

(3)当CD=CO时,

∴∠CDO=COD==70°,

∵△AOD是等腰直角三角形,

∴∠ODA=45°,

∴∠CDA=CDO+ODA=70°+45°=115°,

又∠AOB=ADC=α,

α=115°;

OD=CO时,

∴∠DCO=CDO=40°,

∴∠CDA=CDO+ODA=40°+45°=85°,

α=85°;

CD=OD时,

∴∠DCO=DOC=40°,

CDO=180°﹣DCO﹣DOC=180°﹣40°﹣40°=100°,

∴∠CDA=CDO+ODA=100°+45°=145°,

α=145°,

综上所述:当α的度数为115°85°145°时,AOD是等腰三角形.

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