题目内容
已知函数y1=ax2+a2x+2b-a3,当-2<x<6时,y1>0,而当x<-2或x>6时,y1<0.
(1)求实数a,b的值及函数y1=ax2+a2x+2b-a3的表达式;
(2)设函数y2=-
y1+4(k+1)x+2(6k-1),k取何值时,函数y2的值恒为负?
(1)求实数a,b的值及函数y1=ax2+a2x+2b-a3的表达式;
(2)设函数y2=-
k | 4 |
分析:(1)由题意可知:-2和6为方程ax2+a2x+2b-a3=0的两根,则把两根代入到方程中求出a,b并得到函数解析式即可;
(2)把y1=-4x2+16x+48代入到y2=-
y1+4(k+1)x+2(6k-1)中得到y1=-
(-4x2+16x+48)+4(k+1)x+2(6k-1)=kx2+4x-2.因为函数y2的值恒为负数,所以得到二次项系数小于0且根的判别式△<0,由以上两个条件组成不等式组,求出解集即可.
(2)把y1=-4x2+16x+48代入到y2=-
k |
4 |
k |
4 |
解答:解:(1)由题意得方程ax2+a2x+2b-a3=0的两根为x1=-2,x2=6,
由
,
解得a=-4,b=-8,
代入得函数表达式为y1=-4x2+16x+48;
(2)由(1)得y1=-
(-4x2+16x+48)+4(k+1)x+2(6k-1)=kx2+4x-2,
若函数值恒为负,
则此二次函数为开口向下与x轴无交点,
所以有
,
解的k<-2,
所以k<-2时,函数y2的值恒为负.
由
|
解得a=-4,b=-8,
代入得函数表达式为y1=-4x2+16x+48;
(2)由(1)得y1=-
k |
4 |
若函数值恒为负,
则此二次函数为开口向下与x轴无交点,
所以有
|
解的k<-2,
所以k<-2时,函数y2的值恒为负.
点评:本题考查了二次函数知识与方程知识的有机结合.这类试题一般难度较大.解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题,善于利用函数图象的有关性质,并注意挖掘题目中的一些隐含条件.
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