Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝（k≠0）与直线y＝ax+b（a≠0）交于A，B两点，直线AB分别交x轴，y轴于C、D两点，若OA＝OC，A点坐标为（4，3）．

（1）分别求出双曲线与直线的函数表达式；

（2）若P为双曲线上一点，且横坐标为2，H为直线AB上一点，且PH+HC最小，延长PH交x轴于点E，将线段OE沿x轴平移得线段O'E'，在平移过程中，是否存在某个位置使|BO'﹣AE'|的值最大值，求出最大值并求出此时E点坐标．

（3）在（2）的情况下，将直线OA沿线段CE平移，平移过程中交y＝（x＞0）的图象于M（M与点A不重合）交x轴于点N，在平面内找一点G，使M、N，E，G为顶点的四边形为矩形？直接写出G的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值为，点E（2，0）；（3）G（﹣6，6）

【解析】

（1）由OA＝OC，A点坐标为（4，3）可求出C点的坐标，再双曲线与直线的函数表达式即可；

（2）作PK⊥x轴于K，交AC于H，得到＝，求得HK＝CH，可得E（2，0），再作B关于x轴的对称点B'，B'N∥OE，B'N＝OE，连接AN交x轴于E'，截取E'O'＝OE，则B'N∥E'O'，B'N＝E'O'，得到|BO'﹣AE'|＝|E'N'﹣AE'|＝AE'﹣E'N＝AN,再求最大值即可；

（3）设平移后的解析式为y＝x+b，当直线经过点P（2，6）时，可得矩形MEGN，再求点G坐标即可.

解：

（1）∵OA＝OC，A点坐标为（4，3），

∴OC＝5，

∴C（﹣5，0），

将点A（4，3）代入y＝可得k＝12，

∴y＝，

将点A（4，3）和C（﹣5，0）代入y＝ax+b，可得a＝，b＝，

∴y＝x+；

（2）由已知可得，P（2，6），D（0，），作PK⊥x轴于K，交AC于H，

∵HK∥OD，

∴＝，

∴CD＝＝＝

，

∴＝，

∴HK＝CH，

∴PH+CH＝PH+HK＝PK，此时PH+HC为最小，

∴E与K重合，

∴E（2，0），

如图1中，作B关于x轴的对称点B'，B'N∥OE，B'N＝OE，连接AN交x轴于E'，

截取E'O'＝OE，则B'N∥E'O'，B'N＝E'O'，

∴四边形B'O'E'N是平行四边形，

∴NE'＝O'B'＝O'B，

∴|BO'﹣AE'|＝|E'N'﹣AE'|＝AE'﹣E'N＝AN,最大；

∵B（﹣9，﹣），

∴B'（﹣9，），

∴N（﹣7，），

∴AN＝＝，

∴|BO'﹣AE'|的最大值为，点E（2，0）．

（3）如图3中，

∵直线OA的解析式为y＝x，

∴平移后的解析式为y＝x+b，

当直线经过点P（2，6）时，可得矩形MEGN，

∴6＝+b，

∴b＝，

∴平移后的直线的解析式为y＝x+，

令y＝0，可得x＝﹣6，

∴G（﹣6，6）．