Question

如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，P是直线BC上一点．(1) 若CP=CD，求证：△DBP是等腰三角形；(2) 在图①中建立以△ABC的边BC的中点为原点，BC所在直线为x轴，BC边上的高所在直线为y轴的平面直角坐标系，如图②，已知等边△ABC的边长为2，AO=，在x轴上是否存在除点P以外的点Q，使△BDQ是等腰三角形？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

.证明：∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABC=∠ACB=60° ∵BD是中线 ∴∠DBC=30°
∵CP="CD " ∴∠CPD=∠CDP 又∵∠ACB=60° ∴∠CPD=30°∴∠CPD=∠DBC
∴DB=DP即△DBP是等腰三角形．
(2) 解：在x轴上存在除点P以外的点Q，使△BDQ是等腰三角形
①若点P在x轴负半轴上，且BP="BD " ∵BD= ∴BP=
∴OP=  ∴点P₁（，0）②若点P在x轴上，且BP=PD
∵∠PBD=∠PDB=30° ∴∠DPC=60°又∠PCD=60°∴PC=DC=1
而OC="1 " ∴OP="0 " ∴点P₂（0，0）
③若点P在x轴正半轴上，且BP="BD  " ∴BP=   而OB=1
∴OP=   ∴点P₃（，0）

略