Question

【题目】已知：如图1，等边△OAB的边长为3，另一等腰△OCA与△OAB有公共边OA，且OC=AC，∠C=120°．现有两动点P、Q分别从B、O两点同时出发，点P以每秒3个单位的速度沿BO向点O运动，点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．请回答下列问题：

（1）在运动过程中，△OPQ的面积记为S，请用含有时间t的式子表示S．

（2）在等边△OAB的边上（点A除外），是否存在点D，使得△OCD为等腰三角形？如果存在，这样的点D共有 个．

（3）如图2，现有∠MCN=60°，其两边分别与OB、AB交于点M、N，连接MN．将∠MCN绕着点C旋转，使得M、N始终在边OB和边AB上．试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）S=﹣t2+t；（2）4；（3）△BMN的周长不发生变化，理由见解析

【解析】

试题分析：（1）根据题意分别表示出QO，OP的长，进而得出S与t的关系式；

（2）如果△OCD为等腰三角形，那么分D在OA边或者OB边上或AB边上三种情形．每一种情形，都有可能O为顶点，C为顶点，D为顶点，分别讨论，得出答案；

（3）如果延长BA至点F，使AF=OM，连接CF，则由SAS可证△MOC≌△FAC，得出MC=CF，再由SAS证出△MCN≌△FCN，得出MN=NF，进而求出△BMN的周长．

解：（1）如图1，∵OC=AC，∠ACO=120°，

∴∠AOC=∠OAC=30°．

∴∠POQ=90°，

∵OQ=t，OP=3﹣3t．

∴S△OPQ=OQ×OP=t×（3﹣3t）=﹣t2+t，

即S=﹣t2+t；

（2）如图2，（i）当D点在OA上，

①以D为顶点，D1C=OD1，

②以O为顶点，OD2=OC，

（ii）当D点在OB上，

由于∠BOC=90°，因此不存在以C或D为顶点的等腰三角形，

以O为顶点时，OD3=OC．

（iii）当D点在AB上时，

此时OD的最短距离为OD⊥AB时，此时OD≠OC，不存在以O为顶点的等腰三角形；

当以C为顶点时，D点和A点重合，

当以D为顶点时，OD4=CD4，

综上所述，这样的点D共有4个；

故答案为：4；

（3）△BMN的周长不发生变化．理由如下：

延长BA至点F，使AF=OM，连接CF．（如图3）

又∵∠MOC=∠FAC=90°，OC=AC，

在△MOC和△FAC中

，

∴△MOC≌△FAC（SAS），

∴MC=CF，∠MCO=∠FCA．

∴∠FCN=∠FCA+∠NCA=∠MCO+∠NCA=∠OCA﹣∠MCN=60°，

∴∠FCN=∠MCN．

在△MCN和△FCN中，

，

∴△MCN≌△FCN（SAS），

∴MN=NF．

∴BM+MN+BN=BM+NF+BN=BO﹣OM+BA+AF=BA+BO=6．

∴△BMN的周长不变，其周长为6．