Question

（一）问题：你能比较两个数2009²⁰¹⁰和2010²⁰⁰⁹的大小吗？
为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出他的一般形式，即比较nⁿ⁺¹和（n+1）ⁿ的大小（n为自然数），然后我们分析这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论．
（1）通过计算，比较下列各组数的大小：
①1²

 

2¹；②2³

 

3²；③3⁴

 

4³；④4⁵

 

5⁴；⑤5⁶

 

6⁵…
（2）从第（1）题的结果经过归纳，可以猜想出nⁿ⁺¹

 

（n+1）ⁿ（n≥3）
（3）根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小：
①2009²⁰¹⁰

 

2010²⁰⁰⁹；②-2009²⁰¹⁰

 

-2010²⁰⁰⁹
（二）请比较大小：

231981+1

231982+1

 

231982+1

231983+1

，并写出理由．

Answer 1

分析：（一）（1）通过计算求出各自的值比较大小；
（2）由第一问中各两数底数的规律以及指数的规律总结规律，第二个数的底数比第一个大1，指数小1；
（3）根据第二问总结出的规律求解．对于负数的比较：首先取其绝对值，绝对值大的较小．
（二）将两式统分，再比较它们的大小关系．

解答：解：（一）
（1）分别求出各自的值然后比较两数的大小；1²＜2¹，2³＜3²，3⁴＞4³，4⁵＞5⁴，5⁶＞6⁵；
（2）由第一问得到规律，当n≥3时，nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ；
（3）由第二问中的规律得：2009²⁰¹⁰＞2010²⁰⁰⁹，不等式两边同乘以-1，不等号变换方向得-2009²⁰¹⁰＜-2010²⁰⁰⁹；

（二）．
对两式统分，分母都为：（23¹⁹⁸²+1）（23¹⁹⁸³+1），分子分别为（23¹⁹⁸¹+1）（23¹⁹⁸³+1），（23¹⁹⁸²+1）²，
比较两分子得原不等式大小为：

231981+1

231982+1

＞

231982+1

231983+1

．

点评：此题主要考查了实数的大小的比较，题目比较难，对于学生的能力要求比较高，本题首先根据乘方运算的法则得到第一问的规律，然后根据此规律求解以下的问题．对于（二）是利用通分比较两式大小．