题目内容
【题目】如图,已知抛物线与x轴交于点A、B,与y轴分别交于点C,其中点,点,且.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是线段AB上一动点,过P作交BC于D,当面积最大时,求点P的坐标;
(3)点M是位于线段BC上方的抛物线上一点,当恰好等于中的某个角时,求点M的坐标.
【答案】(1);(2)当时,S最大,此时;(3)或
【解析】
(1)先根据射影定理求出点,设抛物线的解析式为:,将点代入求出,然后化为一般式即可;
(2)过点P作y轴的平行线交BC于点E,设,用待定系数法分别求出直线BC,直线AC,直线PD的解析式,表示出点E,点D的坐标,然后根据三角形面积公式列出二次函数解析式,利用二次函数的性质求解即可;
(3)分两种情况求解:当时和当时.
(1)∵,,
∴,.
∵,
∴由射影定理可得:,
∴,∴点,
设抛物线的解析式为:,将点代入上式得:,
∴抛物线的解析式为:;
(2)过点P作y轴的平行线交BC于点E,设,
设,
把,代入得
,
∴,
∴,
∴,
同样的方法可求,
故可设,把代入得,
联立解得:,
∴,
,
故当时,S最大,此时;
(3)由题知,,
当时,,
∴点C与点M关于对称轴对称,
∴;
当时,过M作于F,过F作y轴的平行线,交x轴于G,交过M平行于x轴的直线于K,
∵∠,BFM=∠BGF,
∴△MFK∽△FGB,
同理可证:,
∴,,
设,则,
∴,
∴,代入,
解得
,或(舍去),
∴,
故或.