题目内容
【题目】如图，已知矩形ABCD的周长为44cm，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC.
(1)若AF=6cm，求FC的长．
(2)连接BE，求证：BE平分∠ABC.
【答案】（1）
；（2）详见解析.
【解析】
（1）根据矩形的性质易证△AEF≌△DCE (AAS)，得到AE=DC，AF=DE，结合周长可求出AE，然后利用勾股定理求EF和FC即可；
（2）由（1）可得AE=AB，求出∠ABE＝45°即可证明结论.
解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠DCB=∠A=∠D=90°，AB=DC，
∴∠AEF＋∠AFE＝90°，
∵EF⊥EC，
∴∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
∴∠AFE=∠DEC．
在△AEF和△DCE中，
，
∴△AEF≌△DCE (AAS)．
∴AE=DC，AF=DE=6cm.
∵矩形ABCD的周长为44cm，
∴AD+DC=22cm.
∴AE+ED+DC=22cm.
∴2AE+AF=22cm.
∴2AE+6cm =22cm.
解得AE=8 cm.
在Rt△AEF中，FE=
，
∴EF=EC=10.
在Rt△EFC中，FC=
；
(2)由(1)得AE=DC，
∴AE=AB，
∴∠ABE＝∠EBC＝45°.
∴AE平分∠ABC.
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