题目内容
【题目】如图,已知矩形ABCD的周长为44cm,E是AD上的一点,F是AB上的一点,EF⊥EC,且EF=EC.
(1)若AF=6cm,求FC的长.
(2)连接BE,求证:BE平分∠ABC.
【答案】(1);(2)详见解析.
【解析】
(1)根据矩形的性质易证△AEF≌△DCE (AAS),得到AE=DC,AF=DE,结合周长可求出AE,然后利用勾股定理求EF和FC即可;
(2)由(1)可得AE=AB,求出∠ABE=45°即可证明结论.
解:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=∠DCB=∠A=∠D=90°,AB=DC,
∴∠AEF+∠AFE=90°,
∵EF⊥EC,
∴∠FEC=90°,
∴∠AEF+∠DEC=90°,
∴∠AFE=∠DEC.
在△AEF和△DCE中,,
∴△AEF≌△DCE (AAS).
∴AE=DC,AF=DE=6cm.
∵矩形ABCD的周长为44cm,
∴AD+DC=22cm.
∴AE+ED+DC=22cm.
∴2AE+AF=22cm.
∴2AE+6cm =22cm.
解得AE=8 cm.
在Rt△AEF中,FE=,
∴EF=EC=10.
在Rt△EFC中,FC=;
(2)由(1)得AE=DC,
∴AE=AB,
∴∠ABE=∠EBC=45°.
∴AE平分∠ABC.

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