Question

如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0）、（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB于点E.

（1）记的面积为S，求S与b的函数关系式；
（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形，DE=，试探究四边形与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由。

Answer 1

（1）；（2）不变，.

解析试题分析：（1）要表示出△ODE的面积，要分两种情况讨论，①如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长（E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点E在AB边上，这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积；
（2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化．
试题解析：
解：（1）∵四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），
∴点B的坐标是（3，1），
若直线经过点A（3，0）时，则b=；
若直线经过点B（3，1）时，则b=；
若直线经过点C（0，1）时，则b=1．
①如图1，若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，
此时E（2b，0）
∴S=OE•CO=×2b×1=b；

②如图2，若直线与折线OAB的交点在BA上时，即，此时，

∴S=S_矩-（S_△OCD+S_△OAE+S_△DBE）=
综上所述，；
（2）设O₁A₁与CB相交于点M，OA与C₁B₁相交于点N，则矩形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．由题意知，DM∥NE，DN∥ME，
∴四边形DNEM为平行四边形
根据轴对称知，∠MED=∠NED
又∵∠MDE=∠NED，
∴∠MED=∠MDE，
∴MD=ME，
∴平行四边形DNEM为菱形．
过点D作DH⊥OA，垂足为H，设菱形DNEM的边长为a，
由题意知，D（2b-2，1），E（2b，0），
∴DH=1，HE=2b-（2b-2）=2，
∴HN=HE-NE=2-a，
则在Rt△DHN中，由勾股定理知：a²=（2-a）²+1²，
∴a=，
∴S_{四边形DNEM}=NE•DH=．
∴矩形O₁A₁B₁C₁与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．
考点：一次函数综合应用．