Question

3．在△ABC中，AB=12，AC=BC=10，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△ADE，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，连接BD、BE，延长BE交AD于点F．
（1）求证：△ABD是等边三角形；
（2）求证：BF⊥AD，AF=DF；
（3）求线段BE的长．

Answer 1

分析 （1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证明；
（2）根据线段垂直平分线的判定定理得到点B、E在AD的垂直平分线上，证明距离；
（3）根据勾股定理求出BF、EF的长，计算即可．

解答 解：（1）证明：由旋转变换的性质可知，∠BAD=60°，AB=AD，
∴△ABD是等边三角形；
（2）∵△ABD是等边三角形，
∴BA=BD，
∴点B在AD的垂直平分线上，
∵EA=CA，ED=CB，CA=CB，
∴EA=ED，
∴E在AD的垂直平分线上，
∴BE垂直平分AD，即BF⊥AD，AF=DF；
（3）∵AF=$\frac{1}{2}$AD=6，AB=12，
∴BF=$\sqrt{A{B}^{2}-A{F}^{2}}$=6$\sqrt{3}$，
∵AF=6，AE=AC=10，
∴EF=$\sqrt{A{E}^{2}-A{F}^{2}}$=8，
∴BE=BF-EF=6$\sqrt{3}$-8．

点评 本题考查的是旋转变换的性质、线段垂直平分线的判定和性质以及勾股定理的应用，掌握线段垂直平分线的判定定理、旋转变换的性质是解题的关键．