题目内容
3.在△ABC中,AB=12,AC=BC=10,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°,得到△ADE,点B的对应点为点D,点C的对应点为点E,连接BD、BE,延长BE交AD于点F.(1)求证:△ABD是等边三角形;
(2)求证:BF⊥AD,AF=DF;
(3)求线段BE的长.
分析 (1)根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证明;
(2)根据线段垂直平分线的判定定理得到点B、E在AD的垂直平分线上,证明距离;
(3)根据勾股定理求出BF、EF的长,计算即可.
解答 解:(1)证明:由旋转变换的性质可知,∠BAD=60°,AB=AD,
∴△ABD是等边三角形;
(2)∵△ABD是等边三角形,
∴BA=BD,
∴点B在AD的垂直平分线上,
∵EA=CA,ED=CB,CA=CB,
∴EA=ED,
∴E在AD的垂直平分线上,
∴BE垂直平分AD,即BF⊥AD,AF=DF;
(3)∵AF=$\frac{1}{2}$AD=6,AB=12,
∴BF=$\sqrt{A{B}^{2}-A{F}^{2}}$=6$\sqrt{3}$,
∵AF=6,AE=AC=10,
∴EF=$\sqrt{A{E}^{2}-A{F}^{2}}$=8,
∴BE=BF-EF=6$\sqrt{3}$-8.
点评 本题考查的是旋转变换的性质、线段垂直平分线的判定和性质以及勾股定理的应用,掌握线段垂直平分线的判定定理、旋转变换的性质是解题的关键.
练习册系列答案
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