题目内容
(2013•德州)如图,在直角坐标系中有一直角三角形AOB,O为坐标原点,OA=1,tan∠BAO=3,将此三角形绕原点O逆时针旋转90°,得到△DOC,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点,其横坐标为t,
①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E,连接PE,交CD于F,求出当△CEF与△COD相似时,点P的坐标;
②是否存在一点P,使△PCD得面积最大?若存在,求出△PCD的面积的最大值;若不存在,请说明理由.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点,其横坐标为t,
①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E,连接PE,交CD于F,求出当△CEF与△COD相似时,点P的坐标;
②是否存在一点P,使△PCD得面积最大?若存在,求出△PCD的面积的最大值;若不存在,请说明理由.
分析:(1)先求出A、B、C的坐标,再运用待定系数法就可以直接求出二次函数的解析式;
(2)①由(1)的解析式可以求出抛物线的对称轴,分类讨论当∠CEF=90°时,当∠CFE=90°时,根据相似三角形的性质就可以求出P点的坐标;
②先运用待定系数法求出直线CD的解析式,设PM与CD的交点为N,根据CD的解析式表示出点N的坐标,再根据S△PCD=S△PCN+S△PDN就可以表示出三角形PCD的面积,运用顶点式就可以求出结论.
(2)①由(1)的解析式可以求出抛物线的对称轴,分类讨论当∠CEF=90°时,当∠CFE=90°时,根据相似三角形的性质就可以求出P点的坐标;
②先运用待定系数法求出直线CD的解析式,设PM与CD的交点为N,根据CD的解析式表示出点N的坐标,再根据S△PCD=S△PCN+S△PDN就可以表示出三角形PCD的面积,运用顶点式就可以求出结论.
解答:解:(1)在Rt△AOB中,OA=1,tan∠BAO=
=3,
∴OB=3OA=3.
∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的,
∴△DOC≌△AOB,
∴OC=OB=3,OD=OA=1,
∴A、B、C的坐标分别为(1,0),(0,3)(-3,0).
代入解析式为
,
解得:
.
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3;
(2)①∵抛物线的解析式为y=-x2-2x+3,
∴对称轴l=-
=-1,
∴E点的坐标为(-1,0).
如图,当∠CEF=90°时,△CEF∽△COD.此时点P在对称轴上,即点P为抛物线的顶点,P(-1,4);
当∠CFE=90°时,△CFE∽△COD,过点P作PM⊥x轴于点M,则△EFC∽△EMP.
∴
=
=
=
,
∴MP=3EM.
∵P的横坐标为t,
∴P(t,-t2-2t+3).
∵P在二象限,
∴PM=-t2-2t+3,EM=-1-t,
∴-t2-2t+3=3(-1-t),
解得:t1=-2,t2=3(点P在第二象限,所以舍去),
∴t=-2时,y=-(-2)2-2×(-2)+3=3.
∴P(-2,3).
∴当△CEF与△COD相似时,P点的坐标为:(-1,4)或(-2,3);
②设直线CD的解析式为y=kx+b,由题意,得
,
解得:
,
∴直线CD的解析式为:y=
x+1.
设PM与CD的交点为N,则点N的坐标为(t,
t+1),
∴NM=
t+1.
∴PN=PM-NM=-t2-2t+3-(
t+1)=-t2-
t+2.
∵S△PCD=S△PCN+S△PDN,
∴S△PCD=
PN•CM+
PN•OM
=
PN(CM+OM)
=
PN•OC
=
×3(-t2-
t+2)
=-
(t+
)2+
,
∴当t=-
时,S△PCD的最大值为
.
OB |
OA |
∴OB=3OA=3.
∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的,
∴△DOC≌△AOB,
∴OC=OB=3,OD=OA=1,
∴A、B、C的坐标分别为(1,0),(0,3)(-3,0).
代入解析式为
|
解得:
|
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3;
(2)①∵抛物线的解析式为y=-x2-2x+3,
∴对称轴l=-
b |
2a |
∴E点的坐标为(-1,0).
如图,当∠CEF=90°时,△CEF∽△COD.此时点P在对称轴上,即点P为抛物线的顶点,P(-1,4);
当∠CFE=90°时,△CFE∽△COD,过点P作PM⊥x轴于点M,则△EFC∽△EMP.
∴
EM |
MP |
EF |
FC |
DO |
OC |
1 |
3 |
∴MP=3EM.
∵P的横坐标为t,
∴P(t,-t2-2t+3).
∵P在二象限,
∴PM=-t2-2t+3,EM=-1-t,
∴-t2-2t+3=3(-1-t),
解得:t1=-2,t2=3(点P在第二象限,所以舍去),
∴t=-2时,y=-(-2)2-2×(-2)+3=3.
∴P(-2,3).
∴当△CEF与△COD相似时,P点的坐标为:(-1,4)或(-2,3);
②设直线CD的解析式为y=kx+b,由题意,得
|
解得:
|
∴直线CD的解析式为:y=
1 |
3 |
设PM与CD的交点为N,则点N的坐标为(t,
1 |
3 |
∴NM=
1 |
3 |
∴PN=PM-NM=-t2-2t+3-(
1 |
3 |
7 |
3 |
∵S△PCD=S△PCN+S△PDN,
∴S△PCD=
1 |
2 |
1 |
2 |
=
1 |
2 |
=
1 |
2 |
=
1 |
2 |
7 |
3 |
=-
3 |
2 |
7 |
6 |
121 |
24 |
∴当t=-
7 |
6 |
121 |
24 |
点评:本题考查了相似三角形的判定及性质的运用,待定系数法求函数的解析式的运用,三角形的面积公式的运用,二次函数的顶点式的运用,解答本题时,先求出二次函数的解析式是关键,用函数关系式表示出△PCD的面积由顶点式求最大值是难点.
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