Question

如图，已知点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，与AB相交于点E，与AC相交于点F．试判断AD是否平分∠BAC．并说明理由．

Answer 1

解：AD平分∠BAC．
证明如下：连接OD．∵BC切⊙O于D，
∴OD⊥BC．
∵△ABC为直角三角形，且∠C=90°，
∴AC⊥BC．∴OD∥AC，∴∠1=∠2，
又∵OA=OD，∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3．故AD平分∠BAC．
分析：连接OD．根据切线的性质知OD⊥BC；然后根据已知条件“点O为Rt△ABC斜边AB上一点”推知AC⊥BC，所有OD∥AC；最后根据平行线的性质以及圆上的点到圆心的距离相等来推知∠1=∠3．
点评：本题考查了切线的性质．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．