题目内容
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3,DC=5,AB=4
,∠B=45°.动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动;动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动.设运动的时间为t秒.
(1)求BC的长;
(2)当MN∥AB时,求t的值;
(3)试探究:t为何值时,△MNC为等腰三角形.
2 |
(1)求BC的长;
(2)当MN∥AB时,求t的值;
(3)试探究:t为何值时,△MNC为等腰三角形.
(1)如图①,过A、D分别作AK⊥BC于K,DH⊥BC于H,则四边形ADHK是矩形.
∴KH=AD=3.
在Rt△ABK中,AK=AB•sin45°=4
•
=4BK=AB•cos45°=4
•
=4.
在Rt△CDH中,由勾股定理得,HC=
=3.
∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10.
(2)如图②,过D作DG∥AB交BC于G点,则四边形ADGB是平行四边形.
∵MN∥AB,
∴MN∥DG.
∴BG=AD=3.
∴GC=10-3=7.
由题意知,当M、N运动到t秒时,CN=t,CM=10-2t.
∵DG∥MN,
∴∠NMC=∠DGC.
又∵∠C=∠C,
∴△MNC∽△GDC.
∴
=
,
即
=
.
解得,t=
.
(3)分三种情况讨论:
①当NC=MC时,如图③,即t=10-2t,
∴t=
.
②当MN=NC时,如图④,过N作NE⊥MC于E.
解法一:
由等腰三角形三线合一性质得
EC=
MC=
(10-2t)=5-t.
在Rt△CEN中,cosC=
=
,
又在Rt△DHC中,cosC=
=
,
∴
=
.
解得t=
.
解法二:
∵∠C=∠C,∠DHC=∠NEC=90°,
∴△NEC∽△DHC.
∴
=
,
即
=
.
∴t=
.
③当MN=MC时,如图⑤,过M作MF⊥CN于F点.FC=
NC=
t.
解法一:(方法同②中解法一)cosC=
=
=
,
解得t=
.
解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
=
,
即
=
,
∴t=
.
综上所述,当t=
、t=
或t=
时,△MNC为等腰三角形.
∴KH=AD=3.
在Rt△ABK中,AK=AB•sin45°=4
2 |
| ||
2 |
2 |
| ||
2 |
在Rt△CDH中,由勾股定理得,HC=
52-42 |
∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10.
(2)如图②,过D作DG∥AB交BC于G点,则四边形ADGB是平行四边形.
∵MN∥AB,
∴MN∥DG.
∴BG=AD=3.
∴GC=10-3=7.
由题意知,当M、N运动到t秒时,CN=t,CM=10-2t.
∵DG∥MN,
∴∠NMC=∠DGC.
又∵∠C=∠C,
∴△MNC∽△GDC.
∴
CN |
CD |
CM |
CG |
即
t |
5 |
10-2t |
7 |
解得,t=
50 |
17 |
(3)分三种情况讨论:
①当NC=MC时,如图③,即t=10-2t,
∴t=
10 |
3 |
②当MN=NC时,如图④,过N作NE⊥MC于E.
解法一:
由等腰三角形三线合一性质得
EC=
1 |
2 |
1 |
2 |
在Rt△CEN中,cosC=
EC |
NC |
5-t |
t |
又在Rt△DHC中,cosC=
CH |
CD |
3 |
5 |
∴
5-t |
t |
3 |
5 |
解得t=
25 |
8 |
解法二:
∵∠C=∠C,∠DHC=∠NEC=90°,
∴△NEC∽△DHC.
∴
NC |
DC |
EC |
HC |
即
t |
5 |
5-t |
3 |
∴t=
25 |
8 |
③当MN=MC时,如图⑤,过M作MF⊥CN于F点.FC=
1 |
2 |
1 |
2 |
解法一:(方法同②中解法一)cosC=
FC |
MC |
| ||
10-2t |
3 |
5 |
解得t=
60 |
17 |
解法二:
∵∠C=∠C,∠MFC=∠DHC=90°,
∴△MFC∽△DHC.
∴
FC |
HC |
MC |
DC |
即
| ||
3 |
10-2t |
5 |
∴t=
60 |
17 |
综上所述,当t=
10 |
3 |
25 |
8 |
60 |
17 |
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