题目内容
【题目】已知,如图,抛物线>0)与轴交于点C,与轴交于A,B两点,点A在点B左侧.点B的坐标为(1,0),OC=3OB.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点,求四边形ABCD面积的最大值;
(3)若点E在轴上,点P在抛物线上.是否存在以A,C,E,P为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)、;(2)、;(3)、P1(-2,-3),,
【解析】
试题分析:(1)、根据题意得出点B和点C的坐标,然后代入函数解析式求出答案;(2)、首先根据点A和点C的坐标得出直线AC的解析式,然后过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M,N,设点M的坐标为(m,-m-3),从而得出点D的坐标,求出DM的长度,根据二次函数的性质求出DM的最大值,得出面积的最大值;(3)、①、过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1,过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1,,将C(0,-3)代入函数解析式求出点P的坐标;②、平移直线AC交x轴于点E,交x轴上方的抛物线于点P,当AC=PE时,四边形ACEP为平行四边形,设出点P的坐标为(x,3),然后代入函数解析式求出点P的坐标.
试题解析:(1)、∵OC=3OB,B(1,0),∴C(0,-3). 把点B,C的坐标代入,得
∴抛物线的解析式
(2)、由A(-3,0),C(0,-3)得直线AC的解析式为,
如图,过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M,N.
设M则D,
∴-1<0,∴当x=时,DM有最大值 ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD
此时四边形ABCD面积有最大值为.
(3)、存在
①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1,过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1,
此时四边形ACP1E1为平行四边形. ∵C(0,-3),令
∴,.∴P1(-2,-3).
②平移直线AC交x轴于点E,交x轴上方的抛物线于点P,当AC=PE时,四边形ACEP为平行四边形,∵C(0,-3),
∴可令P(x,3),,得 解得,
此时存在点 ,
综上所述,存在3个点符合题意,坐标分别是P1(-2,-3),