题目内容

【题目】操作:如图ABC是等边三角形,BDC是顶角BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°角:(1)角的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连接MN.探究:线段BM、MN、NC之间的关系,并加以证明.

(2)若角的两边分别交AB、CA的延长线于M、N两点,连接MN。在图中画出图形,再直接写出线段BM、MN、NC之间的关系.

【答案】(1)、MN=BM+CN;证明过程见解析;(2)、MN=CN-BM;图形见解析.

【解析】

试题分析:(1)、延长NC到E,使CE=BM,连接DE,根据ABC为等边三角形,BCD为等腰三角形,且BDC=120°,得出MBD=90°,结合BM=CE,BD=CD得出CDE≌△BDM,从而得到CDE=BDM,DE=DM,然后得出DMN≌△DEN,从而得出答案;(2)、根据题意画出图形,然后根据图形得出三边之间的关系.

试题解析:(1)、MN=BM+CN

如图,延长NC到E,使CE=BM,连接DE,

∵△ABC为等边三角形,BCD为等腰三角形,且BDC=120°

∴∠MBD=MBC+DBC=60°+30°=90°

DCE=180°-ACD=180°-ABD=90°,又BM=CE,BD=CD,

∴△CDE≌△BDM,∴∠CDE=BDM,DE=DM,

NDE=NDC+CDE=NDC+BDM=BDC-MDN=120°-60°=60°

∴△DMN≌△DEN,MN=NE=CE+CN=BM+CN

(2)、如图 MN=CN-BM

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