题目内容
【题目】如图：AD与⊙O相切于点D，AF经过圆心与圆交于点E、F，连接DE、DF，且EF=6，AD=4． 
（1）证明：AD2=AEAF；
（2）延长AD到点B，使DB=AD，直径EF上有一动点C，连接CB交DF于点G，连接EG，设∠ACB=α，BG=x，EG=y． ①当α=900时，探索EG与BD的大小关系？并说明理由；
②当α=1200时，求y与x的关系式，并用x的代数式表示y．
【答案】
（1）证明：连接OD
∵AD是⊙O的切线，
∴OD⊥AD，即∠ADE+∠EDO=90°，
∵EF是直径，
∴∠EDF=90°，即∠EDO+∠ODF=90°，
∴∠ADE=∠ODF，
∵OD=OF，
∴∠ODF=∠OFD，
∴∠ADE=∠OFD，
∴△ADE∽△AFD，
∴ 
，
即AD2=AEAF；
（2）解：①当α=90°时，EG＞BD
理由如下：如图2，取EG的中点H，连接CH、DH、CD，
∵Rt△EDG、Rt△ECG，点H为EG的中点，
∴CH=EH=GH=DH= 
EG，
∴点C、E、D、G在以点H为圆心，EG为直径的圆上，
∴EG＞CD，
∵Rt△ABC，DB=AD，
∴CD=DB=AD= AB，
∴EG＞BD；
②当α=120°时，
如图3，将△ADE绕着点D旋转180°，得到△BDP，连接GP，过点P作PQ⊥BG，
由（1）AD2=AEAF得：16=AE（AE+6），
解得：AE=2或AE=﹣8（舍去），
∵△ADE≌△BDP
∴ED=DP，AE=BP=2，∠A=∠DBP，
∵∠EDF=90°，
∴DG垂直平分EP，
∴GE=GP=y，
∵∠A+∠ABC=180°﹣120°=60°，
∴∠DBP+∠ABC=60°，即∠GBP=60°，
在Rt△BPQ中，∠GBP=60°，BP=2，
∴BQ=1，PQ= 
，
∴GQ=BG﹣BQ=x﹣1，
在Rt△GPQ中，PQ= ，GQ=x﹣1，GP=y，
∴PG2=GQ2+PQ2
即y2=（x﹣1）2+（ ）2，
故y= 
．
【解析】（1）直接利用切线的性质得出∠ADE+∠EDO=90°，再利用圆周角定理得出∠ADE=∠ODF，结合相似三角形的判定与性质得出答案；（2）①利用直角三角形的性质得出点C、E、D、G在以点H为圆心，EG为直径的圆上，进而得出EG与BD的大小关系；②首先得出BQ=1，PQ= ，GQ=BG﹣BQ=x﹣1，进而利用勾股定理求出答案．
