Question

23、如图①，点O为线段MN的中点，PQ与MN相交于点O，且PM∥NQ，可证△PMO≌△QNO．根据上述结论完成下列探究活动：
探究一：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F．试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论；
探究二：如图③，DE、BC相交于点E，BA交DE于点A，且BE：EC=1：2，∠BAE=∠EDF，CF∥AB．若AB=4，CF=2，求DF的长度．

Answer 1

分析：（1）如图2，分别延长DC、AE，交于G点，根据已知条件可以得到△ABE≌△GCE，由此得到AB=CG，又AB∥DC，∠BAE=∠EAF，利用平行线的性质和等腰三角形的判定定理可以证明AF=GF，利用这些即可证明题目的结论；
（2）如图3，分别延长CF、AE，交于G点，根据已知条件可以得到△ABE∽△GCE，由此得到AB：CG=BE：CE，由此可以求出CG，又AB∥FC，∠BAE=∠EAF，利用平行线的性质和等腰三角形的判定定理可以证明DF=GF，然后利用已知条件和这些即可解决问题．

解答：解：（1）AB=AF+CF．
如图2，分别延长DC、AE，交于G点，
根据图①得△ABE≌△GCE，
∴AB=CG，
又AB∥DC，
∴∠BAE=∠G
而∠BAE=∠EAF，
∴∠G=∠EAF，
∴AF=GF，
∴AB=CG=GF+CF=AF+CF；
 （2）如图3，分别延长CF、AE，交于G点，
根据得△ABE∽△GCE，
∴AB：CG=BE：CE，
而BE：EC=1：2，AB=4，
∴CG=8，
又AB∥FC，
∴∠BAE=∠G，
而∠BAE=∠EDF，
∴∠G=∠EDF，
∴DF=GF，
而CF=2，
∴DF=CG-CF=8-2=6．

点评：此题主要考查了全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，此题是探究题目，首先正确理解给出的基本图形的隐含结论，然后结合要探究的图形作辅助线把探究的问题转换为已知的问题解决即可．