Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M为斜边AB上一动点，过M分别作MD⊥AC于点D， 作ME⊥CB于点E．

(1) 求证：四边形DMEC是矩形．

(2) 求线段DE的最小值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）线段DE的最小值为.

【解析】试题分析：（1）由MD⊥AC，ME⊥CB及∠C=90°，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得；

（2）连接CM，由四边形CDME是矩形，可得DE=CM， 由垂线段最短可知当CM⊥AB时，CM最短， 根据面积法求出AB边上的高即可.

试题解析：（1）∵MD⊥AC，ME⊥CB，∴∠MDC=∠MEC=90°，

又∵∠C=90°，∴ 四边形CDME是矩形；

（2）连接CM，如图所示：

∵四边形CDME是矩形，∴DE=CM，

∵∠C=90°，BC=3，AC=4，∴ AB== =5，

当CM⊥AB时，CM最短， 此时△ABC的面积=ABCM=BCAC，

∴CM的最小值= = ，

∴线段DE的最小值为.