题目内容

【题目】如图(1)所示,△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,求证:∠BOC=90+∠A.

变式1:如图(2)所示,∠ABC,∠ACD的平分线交于点O,求证:∠BOC=∠A.

变式2:如图(3)所示,∠CBD,∠BCE的平分线交于点O,求证:∠BOC=90-∠A.

【答案】见解析

【解析】

(1)先根据三角形内角和定理得到∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB,则2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB,再根据角平分线的定义得∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB,则2∠BOC=360°-∠ABC-∠ACB,易得∠BOC=90°+∠A;

变式1:根据BD为△ABC的角平分线,CD为△ABC外角∠ACE的平分线,由三角形外角性质可得;∠2=∠1+∠O,∠ACO=∠2=∠ACD=(∠A+∠ABC)=(∠A+2∠1) =∠A+∠1,两式联立可得 ∠1+∠O = ∠A+∠1,即∠BOC=A.

变式2:根据三角形外角平分线的性质可得∠BCO= (∠A+∠ABC)、∠OBC= (∠A+∠ACB);根据三角形内角和定理可得∠BOC=90-A..

(1)证明:在△BOC中,
∵∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB,
∴2∠BOC=360°-2∠OBC-2∠OCB,
∵BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,
∴∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB,
∴2∠BOC=360°-(∠ABC+∠ACB),
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A,
∴2∠BOC=180°+∠A,
∴∠BOC=90°+∠A;

变式1∵BD为△ABC的角平分线,CD为△ABC外角∠ACE的平分线,

∴ ∠1= ∠ABC ∠ACO=∠2=∠ACD

∵∠2、∠ACO分别是△BCO、△ABC的外角

∴∠2=∠1+∠O,∠ACO=∠2=∠ACD=(∠A+∠ABC)=(∠A+2∠1) =∠A+∠1,

∴ ∠1+∠O = ∠A+∠1,

BOC=A

变式2:∵BO、CO为△ABC中∠ABC、∠ACB的外角平分线.
∴∠BCO= (∠A+∠ABC)、∠OBC= (∠A+∠ACB),
由三角形内角和定理得,∠BOC=180°-∠BCO-∠OBC,
=180°- [∠A+(∠A+∠ABC+∠ACB)],
=180°- (∠A+180°),
=90°- ∠A;

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