Question

如图，E是矩形ABCE的边BC上一点，EF⊥AE，EF分别交AC、CD于点M、F，BG⊥AC，垂足为G，BG交AE于点H。

（1）求证：△ABE∽△ECF；
（2）找出与△ABH相似的三角形，并证明；
（3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长。

Answer 1

（1）可证明△ABE中，△ECF∠ABE=∠ECF，∠BAE=∠CEF，所以△ABE∽△ECF
（2）△ABH∽△ECM：由BG⊥AC可得∠ABG+∠BAG=90°，则有∠ABH=∠ECM，又∠BAH=∠CEM。
（3）

试题分析：（1）由四边形ABCD是矩形，可得∠ABE=∠ECF=90°，由AE⊥EF，∠AEB+∠FEC=90°，可得∠BAE=∠CEF，即可证得△ABE∽△ECF.
（2）由BG⊥AC可得∠ABG+∠BAG=90°，则有∠ABH=∠ECM，又∠BAH=∠CEM，
则可证得△ABH∽△ECM.
（3）作MR⊥BC，垂足为R，由AB=BE=EC=2，

因为AB∥MR。则可证明Rt△ABC∽Rt△MRC。所以CR=2MR
且AB：BC=MR：RC=1：2，且∠AEB=45°，则通过平角性质可得∠MER=90°-∠AEB=45°，从而可得MR=ER=RC=，所以EM=.
点评：本题难度中等，主要考查学生对相似三角形性质与判定知识点的掌握。为中考常考题型，要求学生培养数形结合思想，运用到考试中去。