题目内容
如图，在△ABC中，BC=AC，∠ACB=120°，点D在线段AB上运动（D不与A、B重合），连接CD
，作∠CDE=30°，DE交线段AC于E．（1）当DE∥BC时，△ACD的形状是
（2）请添加一个条件，使得△ADE≌△BCD，并说明理由；
（3）在点D运动的过程中，△CDE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠AED的度数；若不可以，请说明理由．
分析：（1）由DE∥BC，∠CDE=30°，可得∠BCD=30°，再由∠ACB=120°，即可推出∠ACD=90°，即可推出△ACD的形状为直角三角形；由BC=AC，∠ACB=120°，可得∠A=∠B=30°，再由∠BCD=15°，即可推出∠CDA=45°，然后由∠CDE=30°，即可推出∠EDA的度数；
（2）若BC=AD，则AC=AD，∠ACD=∠ADC，由已知条件即可推出∠A=∠B=30°，即可推出∠CDB=∠A+∠ACD，∠AED=∠ACD+∠CDE，再由∠A=∠CDE=30°，即可推出∠AED=∠BDC，然后通过全等三角形的判定定理“AAS”即可推出结论；
（3）当∠CDE为75°或60°时，△CDE的形状可以是等腰三角形，即可推出∠AED的度数．
（2）若BC=AD，则AC=AD，∠ACD=∠ADC，由已知条件即可推出∠A=∠B=30°，即可推出∠CDB=∠A+∠ACD，∠AED=∠ACD+∠CDE，再由∠A=∠CDE=30°，即可推出∠AED=∠BDC，然后通过全等三角形的判定定理“AAS”即可推出结论；
（3）当∠CDE为75°或60°时，△CDE的形状可以是等腰三角形，即可推出∠AED的度数．
解答：解：（1）①∵DE∥BC，∠CDE=30°，
∴∠BCD=30°，
∵∠ACB=120°，
∴∠ACD=90°，
∴△ACD的形状为直角三角形，
②∵BC=AC，∠ACB=120°，
∴∠A=∠B=30°，
∵∠BCD=15°，
∴∠CDA=45°，
∵∠CDE=30°，
∴∠EDA=15°；
故答案为：直角，15°．
（2）添加条件AD=BC，
∵BC=AC，∠ACB=120°，
∴AC=AD，∠ACD=∠ADC，∠A=∠B=30°，
∵∠CDB=∠A+∠ACD，∠AED=∠ACD+∠CDE，
∴∠A=∠CDE，∠AED=∠BDC，
∴∠AED=∠BDC，
∵在△AED和△BDC中，
，
∴△AED≌△BDC（AAS）；
（3）△CDE的形状可以是等腰三角形，∠AED的度数为105°或60°．
∴∠BCD=30°，
∵∠ACB=120°，
∴∠ACD=90°，
∴△ACD的形状为直角三角形，
②∵BC=AC，∠ACB=120°，
∴∠A=∠B=30°，
∵∠BCD=15°，
∴∠CDA=45°，
∵∠CDE=30°，
∴∠EDA=15°；
故答案为：直角，15°．
（2）添加条件AD=BC，
∵BC=AC，∠ACB=120°，
∴AC=AD，∠ACD=∠ADC，∠A=∠B=30°，
∵∠CDB=∠A+∠ACD，∠AED=∠ACD+∠CDE，
∴∠A=∠CDE，∠AED=∠BDC，
∴∠AED=∠BDC，
∵在△AED和△BDC中，
|
∴△AED≌△BDC（AAS）；
（3）△CDE的形状可以是等腰三角形，∠AED的度数为105°或60°．
点评：本题主要考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的判定、等腰三角形的判定与性质、外角的性质，关键在于运用数形结合的思想，熟练地运用相关的性质定理，认真地进行计算．
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