Question

如图，已知二次函数的图像开口向下，与x轴的一个交点为B，顶点A在直线y=x上，O为坐标原点。
（1）证明：△AOB是等腰直角三角形；
（2）若△AOB的外接圆C的半径为1，求该二次函数的解析式；
（3）对题（2）中所求出的二次函数，在其图像上是否存在点P （点P与点A不重合），使得△POC是以PC为腰的等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵点A在直线y=x上，
∴设点A的坐标为（m，m），
过点A作AD⊥x轴，交x轴于点D，
∵点A是二次函数图像的顶点，
∴直线AD是其对称轴，
∴点D是OB的中点，
∴OD=DB=AD，
∴△AOB是等腰直角三角形；
（2）∵△AOB是等腰直角三角形，且其外接圆C的半径为1，
∴点C是OB的中点，（即点C就是上题中的点D），
且OC=CB=1，从而CA=1，
∴点A的坐标为（1，1），
点B为（2，0），设该二次函数的解析式为：，
∵B（2，0）在函数图像上，
∴，
解得：a=-1，
∴，即；
（3）设存在点P（x，y），使得△POC是等腰三角形，
∵P（x，y）是二次函数图像上的点，
∴，
可能一：PC=PO，则，从而P（）；
可能二：PC=OC，则PC=1，∴，即，
又，
∴，
解得：y=0或y=1，
y=0时，点P在x轴上，△POC不存在，
y=1时，点P与点A重合，不合题意，
综上，点P（）。