题目内容
如图,已知在平面直角坐标系xOy中,直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上,OC在x轴的正半轴上,OA=AB=2,OC=3,过点B作BD⊥BC,交OA于点D.将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转,角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F.
1.(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;
2.(2)当BE经过(1)中抛物线的顶点时,求CF的长;
3.(3)在抛物线的对称轴上取两点P、Q(点Q在点P的上方),且PQ=1,要使四边形BCPQ的周长最小,求出P、Q两点的坐标.
【答案】
1.(1)由题意得A(0,2)、B(2,2)、C(3,0).
设经过A,B,C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+2.
则
解得
∴ .
2.(2)由=.
∴ 顶点坐标为G(1,).
过G作GH⊥AB,垂足为H.
则AH=BH=1,GH=-2=.
∵ EA⊥AB,GH⊥AB,
∴ EA∥GH.
∴GH是△BEA的中位线 .
∴EA=3GH=.
过B作BM⊥OC,垂足为M .
则MB=OA=AB.
∵ ∠EBF=∠ABM=90°,
∴ ∠EBA=∠FBM=90°-∠ABF.
∴ R t△EBA≌R t△FBM.
∴ FM=EA=.
∵ CM=OC-OM=3-2=1,
∴ CF=FM+CM=.……………5分
3.(3)要使四边形BCGH的周长最小,可将点C向上
平移一个单位,再做关于对称轴对称的对称点C1,
得点C1的坐标为(-1,1).
可求出直线BC1的解析式为.
直线与对称轴x=1的交点即为点H,坐标为(1,).
点G的坐标为(1,)
【解析】略
练习册系列答案
相关题目