题目内容

如图，?ABMN中，AC平分∠BAN交BM于C点，CD∥AB交AN于D点．
（1）判断四边形ABCD的形状并证明你的结论；
（2）以B点为坐标原点，BM所在的直线为横轴建立平面直角坐标系，若∠ABM=60°，A点横坐标为2，请直接写出A、C、D点坐标及经过D点的反比例函数解析式；
（3）设（2）中反比例函数的图象与MN交于P点，求当BM的长为多少时，P点为MN的中点．

解：（1）是菱形，（1分）
证明：∵四边形ABMN是平行四边形
∴AD∥BC
∵CD∥AB
∴四边形ABCD是平行四边形（2分）
∵AC平分∠BAN
∴∠BAC=∠DAC
∵AD∥BC
∴∠CAD=∠ACB
∴∠BAC=∠ACB
∴BA=BC
∴?ABCD是菱形（4分）

（2）A（2，2 $\text{[math]}$ ），C（4，0），D（6，2 $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ （8分）

（3）设BM=a，
∵A（2，2 $\text{[math]}$ ），∠ABM=60°，
∴点 $\text{[math]}$ （10分）
把 $\text{[math]}$ 代入 $\text{[math]}$ ，
解之得a=11．
所以当BM=11时，反比例函数的图象经过MN的中点．（12分）
分析：（1）首先证明四边形ABCD是平行四边形，然后证明其邻边BA和BC相等，即可证明四边形ABCD是菱形；
（2）利用平行四边形的性质可以得到三点的坐标分别为A（2，2 $\text{[math]}$ ），C（4，0），D（6，2 $\text{[math]}$ ）；
（3）设BM=a，然后用a表示出点P的坐标为 $\text{[math]}$ ，然后将点P的坐标代入所在反比例函数的解析式求得a的值即可．
点评：本题考查了反比例函数的知识，解题的关键是正确的利用平行四边形的性质及菱形的性质表示出点P的坐标．