题目内容
【题目】如图1,长方形ABCD中,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=CD,AD=BC,且,点P、Q分别是边AD、AB上的动点.
(1)求BD的长;
(2)①如图2,在P、Q运动中是否能使△CPQ成为等腰直角三角形?若能,请求出PA的长;若不能,请说明理由;
②如图3,在BC上取一点E,使EC=5,那么当△EPC为等腰三角形时,求出PA的长.
【答案】(1)(2)①能,AP=4,理由见解析②3、3.5或4.
【解析】
试题分析:(1)由条件可求得AB=4,BC=6,由勾股定理可求出BD的长;
(2)①由题可知只能有∠QPC为直角,当PQ=PC时,可证得Rt△PDC≌Rt△QAP,可求得AP的长;②分PC=EC、PC=PE和PE=EC三种情况分别利用等腰三角形的性质和勾股定理求解即可.
解:
(1)如图1,连接BD,
∵,
∴AB=4,BC=6,
则在Rt△ABD中,由勾股定理可求得BD==2;
(2)①能,AP=4,理由如下:
如图2,由图形可知∠PQC和∠PCQ不可能为直角,所以只有∠QPC=90°,则∠QPA+∠CPD=∠PCD+∠CPD,
∴∠QPA=∠PCD,
当PQ=PC时,
在Rt△APQ和Rt△DCP中
∴△APQ≌△DCP(AAS),
∴AP=CD=4,
故在P、Q运动中是否能使△CPQ成为等腰直角三角形,此时AP=4;
②当PC=EC=5时,在Rt△PCD中,CD=4,PC=EC=5,由勾股定理可求得PD=3,所以AP=AB﹣PD=3,
当PC=PE=5时,如图3,过P作PF⊥BC交BC于点F,则FC=EF=PD=EC=2.5,所以AP=AB﹣PD=6﹣2.5=3.5,
当PE=EC=5时,如图4,过E作EH⊥AD于点H,由可知AH=BE=1,在Rt△EHD中,EH=AB=4,EP=5,由勾股定理可得HP=3,所以AP=AH+PH=1+3=4,
综上可知当△EPC为等腰三角形时,求出PA的长为3、3.5或4.