Question

如图,已知:在四边形ABFC中，=90的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE

（1）试探究,四边形BECF是什么特殊的四边形;
（2）当的大小满足什么条件时,四边形BECF是正方形?请回答并证明你的结论.
(特别提醒:表示角最好用数字)

Answer 1

（1）四边形BECF是菱形，证明见解析（2）当∠A=45。时，菱形BESF是正方形，证明见解析

（1）四边形BECF是菱形。·························1分

证明：EF垂直平分BC，
∴BF=FC,BE=EC,∴∠1＝∠2······2分
∵∠ACB=90°
∴∠1+∠4=90°
∠3+∠2=90°
∴∠3=∠4
∴EC=AE·····················3分
∴BE=AE··················4分
∵CF=AE
∴BE=EC=CF=BF··········5分
∴四边形BECF是菱形·······6分
（2）当∠A=45。时，菱形BESF是正方形··7分
证明：
∵∠A=45。, ∠ACB=90。
∴∠1=45。····························8分
∴∠EBF=2∠A=90。
∴菱形BECF是正方形·················9分
（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC，又因为CF=BE，BE=EC=BF=FC，根据四边相等的四边形是菱形，所以四边形BECF是菱形；
（2）由菱形的性质知，对角线平分一组对角，即当∠ABC=45°时，∠EBF=90°，有菱形为正方形，根据直角三角形中两个角锐角互余得，∠A=45度；