题目内容
【题目】直线y=﹣ x+3和x轴、y轴的交点分别为B、C,点A的坐标是(﹣ ,0),另一条直线经过点A、C.
(1)求线段AC所对应的函数表达式;
(2)动点M从B出发沿BC运动,速度为1秒一个单位长度.当点M运动到C点时停止运动.设M运动t秒时,△ABM的面积为S.
①求S与t的函数关系式;
②当t为何值时,S= S△ABC , (注:S△ABC表示△ABC的面积),求出对应的t值;
③当t=4的时候,在坐标轴上是否存在点P,使得△BMP是以BM为直角边的直角三角形?若存在,请直接写出P点坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:当y=0时,﹣ x+3=0,解得x=3 ,即B(3 ,0)
当x=0时,y=3,即C点坐标是(0,3)
设线段AC所对应的函数表达式y=kx+b,图象经过A、C点,得 ,
解得 .
故线段AC所对应的函数表达式y= x+3
(2)
解:如图1,
①由动点M从B出发沿BC运动,速度为1秒一个单位长度,行驶t秒,得BM=t,
由线段的和差,得AB=3 ﹣(﹣ )=4 ,
由正切函数,得tan∠B= = = ,∠ABC=30°,
由正弦函数,得MD=BMsin∠ABC= t.
由三角形面积公式,得S= ABMD= × t×4 = t
即S= t;
②由S= S△ABC,得MD= OC= ,即 t= ,解得t=3,
当t=3时,S= S△ABC;
③如图2:
当t=4时,在坐标轴上存在点P,使得△BMP是以BM为直角边的直角三角形,
(i)如图2,
∵点M运动的速度为每秒1个单位长度,
∴当t=4时,BM=4,
∵∠ABC=30°,∠PMB=90°,
∴BP=BM÷cos30°=4÷ = ,
∴OP=OB﹣BP=3 ﹣ = ,
∴点P的坐标是( ,0).
(ii)如图3,
PM和AB相交于点N,,
∵点M运动的速度为每秒1个单位长度,
∴当t=4时,BM=4,
∵∠ABC=30°,∠NMB=90°,
∴BN=BM÷cos30°=4÷ = ,
∴ON=OB﹣BN=3 ﹣ = ,
∵∠MNB=90°﹣30°=60°,∠ONP=∠MNB,
∴∠ONP=60°,
∴OP=ONtan60°= =1,
∴点P的坐标是(0,﹣1).
(iii)如图4,
∵OC=3,∠ABC=30°,∠BOC=90°,
∴BC=2×3=6,∠PCB=90°﹣30°=60°,
又∵∠PBC=90°,
∴∠BPC=90°﹣60°=30°,
∴CP=2BC=2×6=12,
∴OP=CP﹣OC=12﹣3=9,
∴点P的坐标是(0,﹣9).
综上,可得
当t=4时,在坐标轴上存在点P,使得△BMP是以BM为直角边的直角三角形,
点P的坐标是( ,0)、(0,﹣1)或(0,﹣9).
【解析】(1)根据函数值,可得相应自变量的值,根据自变量的值,可得相应的函数值,根据待定系数法,可得函数解析式;(2)①根据M的运动时间及运动速度,可得BM的长,根据正切函数值,可得∠B的大小,再根据正弦函数,可得MD的长,根据线段的和差,可得AB的长,根据三角形的面积公式,可得答案;②根据等底三角形面积间的S= S△ABC的关系,可得MD= OB,可得答案;③根据题意,分三种情况:①点P在x轴上时;②点P在y轴上,且BP为斜边时;③点P在y轴上,且BP为另一条直角边时;然后根据直角三角形的性质分类讨论,求出P点坐标各是多少即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解一次函数的性质的相关知识,掌握一般地,一次函数y=kx+b有下列性质:(1)当k>0时,y随x的增大而增大(2)当k<0时,y随x的增大而减小.
【题目】某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时,主要依据的是下表的数据:
鸭的质量/千克 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 | 3.5 | 4 |
烤制时间/分 | 40 | 60 | 80 | 100 | 120 | 140 | 160 | 180 |
设鸭的质量为x千克,烤制时间为t,估计当x=3.2千克时,t的值为( )
A.140 B.138 C.148 D.160