题目内容

【题目】直线y=﹣ x+3和x轴、y轴的交点分别为B、C,点A的坐标是(﹣ ,0),另一条直线经过点A、C.

(1)求线段AC所对应的函数表达式;
(2)动点M从B出发沿BC运动,速度为1秒一个单位长度.当点M运动到C点时停止运动.设M运动t秒时,△ABM的面积为S.
①求S与t的函数关系式;
②当t为何值时,S= SABC , (注:SABC表示△ABC的面积),求出对应的t值;
③当t=4的时候,在坐标轴上是否存在点P,使得△BMP是以BM为直角边的直角三角形?若存在,请直接写出P点坐标,若不存在,请说明理由.

【答案】
(1)

解:当y=0时,﹣ x+3=0,解得x=3 ,即B(3 ,0)

当x=0时,y=3,即C点坐标是(0,3)

设线段AC所对应的函数表达式y=kx+b,图象经过A、C点,得

解得

故线段AC所对应的函数表达式y= x+3


(2)

解:如图1,

①由动点M从B出发沿BC运动,速度为1秒一个单位长度,行驶t秒,得BM=t,

由线段的和差,得AB=3 ﹣(﹣ )=4

由正切函数,得tan∠B= = = ,∠ABC=30°,

由正弦函数,得MD=BMsin∠ABC= t.

由三角形面积公式,得S= ABMD= × t×4 = t

即S= t;

②由S= SABC,得MD= OC= ,即 t= ,解得t=3,

当t=3时,S= SABC

③如图2:

当t=4时,在坐标轴上存在点P,使得△BMP是以BM为直角边的直角三角形,

(i)如图2,

∵点M运动的速度为每秒1个单位长度,

∴当t=4时,BM=4,

∵∠ABC=30°,∠PMB=90°,

∴BP=BM÷cos30°=4÷ =

∴OP=OB﹣BP=3 =

∴点P的坐标是( ,0).

(ii)如图3,

PM和AB相交于点N,,

∵点M运动的速度为每秒1个单位长度,

∴当t=4时,BM=4,

∵∠ABC=30°,∠NMB=90°,

∴BN=BM÷cos30°=4÷ =

∴ON=OB﹣BN=3 =

∵∠MNB=90°﹣30°=60°,∠ONP=∠MNB,

∴∠ONP=60°,

∴OP=ONtan60°= =1,

∴点P的坐标是(0,﹣1).

(iii)如图4,

∵OC=3,∠ABC=30°,∠BOC=90°,

∴BC=2×3=6,∠PCB=90°﹣30°=60°,

又∵∠PBC=90°,

∴∠BPC=90°﹣60°=30°,

∴CP=2BC=2×6=12,

∴OP=CP﹣OC=12﹣3=9,

∴点P的坐标是(0,﹣9).

综上,可得

当t=4时,在坐标轴上存在点P,使得△BMP是以BM为直角边的直角三角形,

点P的坐标是( ,0)、(0,﹣1)或(0,﹣9).


【解析】(1)根据函数值,可得相应自变量的值,根据自变量的值,可得相应的函数值,根据待定系数法,可得函数解析式;(2)①根据M的运动时间及运动速度,可得BM的长,根据正切函数值,可得∠B的大小,再根据正弦函数,可得MD的长,根据线段的和差,可得AB的长,根据三角形的面积公式,可得答案;②根据等底三角形面积间的S= SABC的关系,可得MD= OB,可得答案;③根据题意,分三种情况:①点P在x轴上时;②点P在y轴上,且BP为斜边时;③点P在y轴上,且BP为另一条直角边时;然后根据直角三角形的性质分类讨论,求出P点坐标各是多少即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解一次函数的性质的相关知识,掌握一般地,一次函数y=kx+b有下列性质:(1)当k>0时,y随x的增大而增大(2)当k<0时,y随x的增大而减小.

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