题目内容
如图,已知P为定角O的角平分线上的定点,过O、P两点任作一圆与角的两边分别交于A、B两点.求证:OA+OB是定值.
分析:先连接AP、BP,由于它们为有相同圆周角的弦,∴AP=PB,对△POA应用余弦定理,再根据根与系数的关系即可证明.
解答:证明:连接AP、BP,由于它们为有相同圆周角的弦,
∴AP=PB,
不妨记为r.另记x1=OA,x2=OB.
对△POA应用余弦定理,
得x12+OP2-2OP•cos∠AOP•x1=r2.
故x1为方程x2-2OP•cos
∠AOB•x+(OP2-r2)=0的根,
同理x2亦为其根.
因此x1,x2为此方程的两根,由韦达定理,
得x1+x2=2OPcos
∠AOB是定值.
∴AP=PB,
不妨记为r.另记x1=OA,x2=OB.
对△POA应用余弦定理,
得x12+OP2-2OP•cos∠AOP•x1=r2.
故x1为方程x2-2OP•cos
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同理x2亦为其根.
因此x1,x2为此方程的两根,由韦达定理,
得x1+x2=2OPcos
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点评:本题考查了根与系数的关系及圆周角定理,难度适中,关键是根据余弦定理构造方程,然后根据根与系数的关系进行证明.
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