Question

如图，已知P为定角O的角平分线上的定点，过O、P两点任作一圆与角的两边分别交于A、B两点．
求证：OA+OB是定值．

Answer 1

分析：先连接AP、BP，由于它们为有相同圆周角的弦，∴AP=PB，对△POA应用余弦定理，再根据根与系数的关系即可证明．

解答：证明：连接AP、BP，由于它们为有相同圆周角的弦，
∴AP=PB，
不妨记为r．另记x₁=OA，x₂=OB．
对△POA应用余弦定理，
得x₁²+OP²-2OP•cos∠AOP•x₁=r²．
故x₁为方程x²-2OP•cos

1

2

∠AOB•x+（OP²-r²）=0的根，
同理x₂亦为其根．
因此x₁，x₂为此方程的两根，由韦达定理，
得x₁+x₂=2OPcos

1

2

∠AOB是定值．

点评：本题考查了根与系数的关系及圆周角定理，难度适中，关键是根据余弦定理构造方程，然后根据根与系数的关系进行证明．