题目内容
22、如图：已知P为⊙O直径AB上任意一点，弦CD过P且与AB交成45°角．求证：PC2+PD2为定值．分析：分类讨论（1）P点与O点重合，（2）P为一般情况，求证Rt△ODN≌Rt△COM，得ON=CM=PM，OM=ND=PN，从而求证OC2+OD2═PC2+PD2为定值．
解答：
证明：当点p与O点重合时，
PC2+PD2=2圆O的半径的平方
当点P为一般情况时，
作CM⊥AB于M，DN⊥AB于N，连接OC和OD，
可知∠NDP=∠MCP=45°
又OC=OD，则∠ODP=∠OCP
∴∠NDO=∠COM
∴Rt△ODN≌Rt△COM
∴ON=CM=PM，OM=ND=PN
又∵OC2=CM2+OM2，OD2=DN2+ON2
∴OC2=CM2+PN2，OD2=DN2+PM2
∴OC2+OD2=CM2+PN2+DN2+PM2=PC2+PD2，
因此PC2+PD2=2圆O的半径的平方（为定值）．
证明：当点p与O点重合时，PC2+PD2=2圆O的半径的平方
当点P为一般情况时，
作CM⊥AB于M，DN⊥AB于N，连接OC和OD，
可知∠NDP=∠MCP=45°
又OC=OD，则∠ODP=∠OCP
∴∠NDO=∠COM
∴Rt△ODN≌Rt△COM
∴ON=CM=PM，OM=ND=PN
又∵OC2=CM2+OM2，OD2=DN2+ON2
∴OC2=CM2+PN2，OD2=DN2+PM2
∴OC2+OD2=CM2+PN2+DN2+PM2=PC2+PD2，
因此PC2+PD2=2圆O的半径的平方（为定值）．
点评：本题考查了在圆中构建三角形运用勾股定理解直角三角形，本题中求证PC2+PD2=2OC2是解题的关键．
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