Question

【题目】如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA=5cm,E,F为直线BD上的两个动点（点E，F始终在□ABCD的外面），且DE=OD，BF=OB，连接AE，CE，CF，AF.

(l）求证：四边形AFCE为平行四边形.

(2）若DE=OD,BF=OB,上述结论还成立吗？由此你能得出什么结论？

(3）若CA平分∠BCD，∠AEC=60°，求四边形AECF的周长.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（1）由平行四边形的性质可知OA=OC、OB=OD，结合BF=OD、BF=OB可得出OE=OF，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形AFCE为平行四边形；

（2）由DE=OD、BF=OB可以得出OE=OF，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可证出四边形AFCE为平行四边形，由此可得出原结论成立。再找出结论“DE=OD，BF=OB，则四边形AFCE为平行四边形”即可；

（3）根据平行四边形的性质结合CA平分∠BCD，即可得出AD=CD，进而可得出OE是AC的垂直平分线，再根据∠AEC=60°可得出△ACE是等边三角形，根据OA的长度即可得出AE、CE的长度，套用平行四边形周长公式即可求出四边形AECF的周长.

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD.

∵DE=OD，BF=OB，∴DE=BF.∴DE=OF，

∴四边形AFCE为平行四边形.

（2）成立.结论：若DE=OD，BF=OB,则四边形AFCE为平行四边形.

（3）在□ABCD中，AD//BC，∴∠DAC=∠ACB.

∵CA平分∠BCD,∠ACB=∠ACD.

∴∠ACD=∠DAC，

∴AD=CD，

∵OA=OC,∴OE⊥AC，

∴OE是AC的垂直平分线，

∴AE=CE，

∵∠AEC=60°，△ACE是等边三角形，

∴AE=CE=AC=2OA=10cm，

在□AECF中，AF=CE,AE=CF,∴四边形AECF的周长为2（10+10）=40（cm）.