题目内容
【题目】如图1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝6．△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE．AC和BE相交于点O．
（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；
（2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，QR⊥BD，垂足为点R．
①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化．若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积；
②当线段PB的长为何值时，△PQR与△BOC相似．
【答案】（1）菱形，证明见解析；（2）①不变，24；②PB=
．
【解析】
解：（1）四边形ABCE是菱形．
∵△ECD是由△ABC沿BC平移得到的，
∴EC∥AB，且EC=AB，
∴四边形ABCE是平行四边形，
又∵AB=BC，
∴四边形ABCE是菱形；
（2）①四边形PQED的面积不发生变化．
方法一：∵ABCE是菱形，
∴AC⊥BE，OC=
AC=3，
∵BC=5，
∴BO=4，
过A作AH⊥BD于H，（如图1）
∵
，
即
，
解得AH=
．
或∵∠AHC=∠BOC=90°，∠BCA=∠BCA，
∴△AHC∽△BOC，
∴AH：BO=AC：BC，
即AH：4=6：5，
∴AH=．
由菱形的对称性知，△PBO≌△QEO，
∴BP=QE，
∴
方法二：由菱形的对称性知，△PBO≌△QEO，
∴
，
∵△ECD是由△ABC平移得到的，
∴ED∥AC，ED=AC=6，
又∵BE⊥AC，
∴BE⊥ED，
∴
=24
②方法一：如图2，
当点P在BC上运动，使△PQR与△COB相似时，
∵∠2是△OBP的外角，
∴∠2＞∠3，
∴∠2不与∠3对应，
∴∠2与∠1对应，
即∠2=∠1，
∴OP=OC=3
过O作OG⊥BC于G，则G为PC的中点，
∴△OGC∽△BOC，
∴CG：CO=CO：BC，
即CG：3=3：5，
∴CG=
，
∴
．
方法二：如图3，
当点P在BC上运动，使△PQR与△COB相似时，
∵∠2是△OBP的外角，
∴∠2＞∠3，
∴∠2不与∠3对应，
∴∠2与∠1对应，
∴QR：BO=PR：OC
即：4=PR：3，
∴PR=
，
过E作EF⊥BD于F，设PB=x，则RF=QE=PB=x，
DF=
，
∴BD=PB+PR+RF+DF=
，
解得x=．
方法三：如图4，
若点P在BC上运动，使点R与C重合，
由菱形的对称性知，O为PQ的中点，
∴CO是Rt△PCQ斜边上的中线，
∴CO=PO，
∴∠OPC=∠OCP，
此时，Rt△PQR∽Rt△CBO，
∴PR：CO=PQ：BC，
即PR：3=6：5，
∴PR=
∴PB=BC﹣PR=
．
