Question

如图，ABCD为平行四边形，AD=a,BE∥AC,DE交AC的延长线于F点，交BE于E点.

（1）   求证：DF=FE;

（2）   若AC=2CF,∠ADC=60 ^o, AC⊥DC,求BE的长;

（3）   在（2）的条件下，求四边形ABED的面积.

 

Answer 1

【答案】

(1)证明：延长DC交BE于点M，

∵BE∥AC，AB∥DC,∴四边形ABMC是平行四边形，

∴CM=AB=DC,C为DM的中点，BE∥AC，DF=FE;

（2）由（2）得CF是△DME的中位线，故ME=2CF,

又∵AC=2CF，四边形ABMC是平行四边形，

∴BE=2BM=2ME=2AC, 又∵AC⊥DC,

∴在Rt△ADC中利用勾股定理得AC=, ∴=.

 (3)可将四边形ABED的面积分为两部分，梯形ABMD和三角形DME,

在Rt△ADC中利用勾股定理得DC=,

由CF是△DME的中位线得CM=DC=,

四边形ABMC是平行四边形得AM=MC=,BM=AC=,

∴梯形ABMD面积为：;

由AC⊥DC和BE∥AC可证得三角形DME是直角三角形，

其面积为：,

∴四边形ABED的面积为+

【解析】（1）可过点C延长DC交BE于M，可得C，F分别为DM，DE的中点；

（2）在直角三角形ADC中利用勾股定理求解即可；

（3）求四边形ABED的面积，可分解为求梯形ABMD与三角形DME的面积，然后求两面积之和即可．