题目内容

如图①，在平面直角坐标系中⊙O₁交x轴于A、B，交y轴于C，CD∥AB交⊙O₁于D．
（1）判断四边形ABCD的形状并证明．
（2）如图②，若A（4，0），B（-3，0）且以OC为直径的半圆⊙O₂与AD相切于E，求点C的坐标及⊙O₁的半径．
（3）如图③，若A（6，0），B（-2，0），C（0，4），问是否存在直线将四边形ABCD分成两个四边形，使其面积相等且有一个图形为等腰梯形？若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．

分析：（1）根据平行线性质和等腰梯形的判定推出即可；
（2）根据切线长定理求出AD=CD+AO=5，求出AF=BO=3，根据勾股定理求出DF，即可得出答案；
（3）分为三种情况：：①作MN∥BC，交CD于M，交AB于N，且CM+AN=DM+BN=

（CD+AB）=6，求出DM=AN，MN=AD=BC，求出M的坐标是（1，4），N的坐标是（3，0），设直线MN的解析式是y=kx+b，把M、N的坐标代入求出即可；②作MN∥BC，交CD于M，交AB于N，且CM+AN=DM+BN=

（CD+AB）=6，同法可求出此时M的坐标是（3，4），N的坐标是（1，0），设直线MN的解析式是y=ax+c，把M、N的坐标代入求出即可；
③作直线MN∥AB∥CD，交BC于M，交AD于N，且四边形CDNM的面积=四边形AMN的面积，设OF=e，CF=4-e，MN=p，得出方程组

(4+p)(4-e)=12

(8+p)e=12

求出即可．

解答：解：（1）∵CD∥AB，
∴弧BC=弧AD，
∴BC=AD，
∴四边形ABCD是等腰梯形；

（2）过D作DF⊥AB于F，

∵A（4，0），B（-3，0），
∴OB=2，OA=4，
∵CD∥AB，OC⊥AB，
∴CD⊥OC，
∴⊙O切⊙O₂于C，
∵以OC为直径的半圆⊙O₂与AD相切于E，
∴CD=DE，OA=AE=4，
∵四边形ABCD是等腰梯形，OB=2，OA=4，
∴CD=4-3=1，
∴AD=4+1=5，
∵AF=OB=3，在Rt△ADF中，由勾股定理得：DF=4，
∴⊙O₂的半径是

×4=2，OC=4，
即C的坐标是（0，4）．

（3）存在直线将四边形ABCD分成两个四边形，使其面积相等且有一个图形为等腰梯形，
理由是：∵A（6，0），B（-2，0），C（0，4），

∴AO=6，BO=2，CD=8-2-2=4，OC=4，AB=2+6=8，
分为三种情况：①如图2，作MN∥BC，交CD于M，交AB于N，且CM+AN=DM+BN=

（CD+AB）=6，
∵MN∥AD，CD∥AB，
∴四边形MNAD是平行四边形，
∴DM=AN，MN=AD=BC，
即四边形BCMN是等腰梯形，
∴此时直线MN符合条件，即将四边形ABCD分成两个四边形，使其面积相等且有一个图形为等腰梯形，
∴DM=AN=3，CM=4-3=1，ON=6-3=3，
则M的坐标是（1，4），N的坐标是（3，0），
设直线MN的解析式是y=kx+b，
把M、N的坐标代入得：

4=k+b

0=3k+b

解得：k=-2，b=6，
∴直线MN的解析式是y=-2x+6；
②如图3，

作MN∥BC，交CD于M，交AB于N，且CM+AN=DM+BN=

（CD+AB）=6，
同法可求出此时直线MN符合条件，即将四边形ABCD分成两个四边形，使其面积相等且有一个图形为等腰梯形，
求出此时M的坐标是（3，4），N的坐标是（1，0），
设直线MN的解析式是y=ax+c，
把M、N的坐标代入得：

4=3a+c

0=a+c

，
解得：a=2，c=-2，
即直线MN的解析式是y=2x-2；
③

如图4，作直线MN∥AB∥CD，交BC于M，交AD于N，且四边形CDNM的面积=四边形AMN的面积，
则∠CMN=∠CBA，∠DNM=∠DAB，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠CBA=∠DAB，
∴∠CMN=∠DNM，
∵MN∥CD，
∴四边形CMND是等腰梯形，
即此时直线MN符合条件，即将四边形ABCD分成两个四边形，使其面积相等且有一个图形为等腰梯形，
四边形ABCD的面积是

×（4+8）×4=24，
设OF=e，CF=4-e，MN=p，
则

(4+p)(4-e)=12

(8+p)e=12

e=8-2

（e=8+2

＞4舍去），p=2

，
此时符合条件的直线的解析式是y=8-2

；
综合上述，存在直线将四边形ABCD分成两个四边形，使其面积相等且有一个图形为等腰梯形，直线的解析式是y=-2x+6或y=2x-2或y=8-2

．

点评：本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，平行四边形的性质和判定，等腰梯形的性质和判定，勾股定理，切线长定理等知识点的应用，题目比较难，对学生提出较高的要求．