Question

如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE．

（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；    
（2）求证：
（3）若tanC＝，DE＝2，求AD的长．

Answer 1

（1）证明∠EDO＝∠EBO＝90°，所以DE与⊙O相切 （2）通过证明AC="2OE" ，BC²=CD·AC得BC²=2CD·OE （3）

试题分析：(1) DE与⊙O相切 

理由如下：连接OD，BD，
∵AB是直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°
∵E是BC的中点，∴DE＝BE＝CE，∴∠EDB＝∠EBD，
∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB．
∴∠EDO＝∠EBO＝90°
∴DE与⊙O相切
（2）证明：由题意得OE是的ABC的中位线，∴AC=2OE 
∵∠ABC=∠BDC=90⁰，∠C=∠C ，∴ABC∽BDC
∴，∴BC²=CD·AC，∴BC²=2CD·OE
(3) ∵DE＝2      BC＝4    AB＝4. tanC 
tanA＝， 设BD＝AD，
 
 
点评：本题考查直线与圆相切，相似三角形，三角函数，要求学生掌握直线与圆相切，会证明直线与圆相切，熟悉相似三角形的判定方法，会证明两个三角形相似