题目内容
【题目】如图，已知点A（1,0），B（0,3），将Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到Rt△COD，CD的延长线，交AB于点E，连接BC，二次函数
的图象过点A、B、C.
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是线段BC上方抛物线上的一个动点，当∠PBC=75°时，求点P的坐标；
（3）设抛物线的对称轴与x轴交于点F，在抛物线的对称轴上，是否存在一点Q，使得以点Q、O、F为顶点的三角形，与△BDE相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）y= -
-2x+3；（2）P（
，
）；（3）点Q的坐标为（1,3）、（1,
）、（1,-3）、（1,-）.
【解析】分析：（1）利用旋转的性质求出C点的坐标，再利用待定系数法求出函数的解析式即可；
（2）作PF⊥y轴，利用直角三角形的性质和二次函数上的点的特点，求解P点的坐标；
（3）利用相似三角形的判定和性质，分类讨论即可求解.
详解：(1) ∵旋转
∴Rt△COD≌Rt△AOB
∴OC=OB=3
∴C（-3,0）
将A（1,0）、B（0,3）、C（-3,0）代入
得 
∴
∴y= --2x+3
(2) 作PF⊥y轴
∵OB=OC ∠BOC=90°
∴∠CBO=45°
∵∠PBC=75°
∴∠PBO=120°
∴∠PBF=60°
设BF=n，则PF=
n
∴P（-n，n+3）
把点P坐标代入y= --2x+3得，
n+3=
解得n1=0，n2=
∴P（，）
(3)如图所示
二次函数对称轴为 x=
=-1 ，
∴OF=1
∵Rt△COD≌Rt△AOB
∴∠ABO=∠DCO,∠CDO=∠BAO
∵∠CDO=∠BDE,
∴∠BDE=∠BAO
∴△BDE∽△BAO
∴
当△Q1OF∽△BDE时，
∴Q1F=3OF=3, ∴Q1（1,3）
当△OQ2F∽△BDE时，
∴Q2F=OF=, ∴Q2（1,）
根据对称性Q3（1,-3），Q4（1,-）
综上所述，符合要求的点Q的坐标为（1,3）、（1,）、（1,-3）、（1,-）.
同步练习强化拓展系列答案
【题目】目前节能灯在城市已基本普及，今年山东省面向县级及农村地区推广,为响应号召，某商场计划购进甲，乙两种节能灯共
只，这两种节能灯的进价、售价如下表:
进价（元/只） | 售价（元/只） | |
甲型 |
|
|
乙型 |
|
|
(1)如何进货，进货款恰好为
元?
(2)设商场购进甲种节能灯
只，求出商场销售完节能灯时总利润
与购进甲种节能灯之间的函数关系式;
(3)如何进货，商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的
，此时利润为多少元？
