Question

如图：已知在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将一个含30°的直角三角形DEF的最小内角所在的顶点D与直角三角形ABC的顶点C重合，当△DEF绕着点C旋转时，较长的直角边和斜边始终与线段BA交于G，H两点（G，H可以与B，A重合）
（1）如图（1），当∠BCF等于多少度时，△BCG≌△ACH？请给予证明；
（2）如图（2），设GH=x，阴影部分（两三角形重叠部分）面积为y，写出y与x的函数关系式；当x为何值时，y最大，并求出最大值．（结果保留根号）

Answer 1

解：（1）在等腰直角三角形ABC中，AC=BC，∠A=∠B=45°，
当∠ACH=∠BCG时，△BCG≌△ACH．
又因为∠GCH=30°，
所以∠BCF=∠ACH=30°．

（2）作CM⊥AB于M，
因为在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=2，
所以AB=2，因此CM=．
所以S_△GCH=，即y=x．
当G和B重合、或H和A重合时，面积最大，如图：作HK⊥BC与K，
在Rt△BHK中，因为BH=x，
所以BK=HK=x，
又∵在RT△CHK中，∠HCK=30°，
∴CK=KH=x，
因此BC=BK+CK，即，
解之得：x=，
此时y==．
分析：（1）在△BCG和△ACH中，已经知道一组边和一组角相等，只要∠BCF=∠ACH即可，根据题中数据，即可求出．
（2）作CM⊥AB，可根据AC、BC求出CM，然后根据三角形面积公式解答．
点评：此题考查了三角形全等以及直角三角形的相关知识，难易程度适中．