题目内容
如图:已知在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=BC=2,将一个含30°的直角三角形DEF的最小内角所在的顶点D与直角三角形ABC的顶点C重合,当△DEF绕着点C旋转时,较长的直角边和斜边始终与线段BA交于G,H两点(G,H可以与B,A重合)
(1)如图(1),当∠BCF等于多少度时,△BCG≌△ACH?请给予证明;
(2)如图(2),设GH=x,阴影部分(两三角形重叠部分)面积为y,写出y与x的函数关系式;当x为何值时,y最大,并求出最大值.(结果保留根号)

解:(1)在等腰直角三角形ABC中,AC=BC,∠A=∠B=45°,
当∠ACH=∠BCG时,△BCG≌△ACH.
又因为∠GCH=30°,
所以∠BCF=∠ACH=30°.
(2)作CM⊥AB于M,
因为在等腰直角三角形ABC中,AC=BC=2,
所以AB=2
,因此CM=
.
所以S△GCH=
,即y=
x.
当G和B重合、或H和A重合时,面积最大,如图:作HK⊥BC与K,
在Rt△BHK中,因为BH=x,
所以BK=HK=
x,
又∵在RT△CHK中,∠HCK=30°,
∴CK=
KH=
x,
因此BC=BK+CK,即
,
解之得:x=
,
此时y=
=
.
分析:(1)在△BCG和△ACH中,已经知道一组边和一组角相等,只要∠BCF=∠ACH即可,根据题中数据,即可求出.
(2)作CM⊥AB,可根据AC、BC求出CM,然后根据三角形面积公式解答.
点评:此题考查了三角形全等以及直角三角形的相关知识,难易程度适中.
当∠ACH=∠BCG时,△BCG≌△ACH.
又因为∠GCH=30°,

所以∠BCF=∠ACH=30°.
(2)作CM⊥AB于M,
因为在等腰直角三角形ABC中,AC=BC=2,
所以AB=2


所以S△GCH=


当G和B重合、或H和A重合时,面积最大,如图:作HK⊥BC与K,

在Rt△BHK中,因为BH=x,
所以BK=HK=

又∵在RT△CHK中,∠HCK=30°,
∴CK=


因此BC=BK+CK,即

解之得:x=

此时y=


分析:(1)在△BCG和△ACH中,已经知道一组边和一组角相等,只要∠BCF=∠ACH即可,根据题中数据,即可求出.
(2)作CM⊥AB,可根据AC、BC求出CM,然后根据三角形面积公式解答.
点评:此题考查了三角形全等以及直角三角形的相关知识,难易程度适中.

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