Question

【题目】如图，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点.

（1）求证：MN⊥DE．

（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．

（3）当∠A变为钝角时，如图，上述（1）（2）中的结论是否都成立， 若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）∠DME=180°-2∠A，理由见解析；（3）结论（1）成立， 结论（2）不成立.

【解析】试题分析：

（1）如图，连接DM、ME，由CD、BE是△ABC的高可得∠BDC=∠BEC=90°，结合点M是BC的中点，可得ME=BC，MD=BC，由此可得ME=MD，再结合点N是DE的中点，利用等腰三角形的“三线合一”可得：MN⊥DE；

（2）由（1）可知：DM=ME=BM=MC，则：∠DBM=∠BDM，∠ECM=∠CEM，由此可得：∠DMB=180°-2∠DBM，∠EMC=180°-2∠ECM，结合∠DME=180°-∠DMB-∠EMC可得∠DME=2(∠DBM+∠ECM)-180°，再结合：∠DBM+∠ECM=180°-∠A可得∠DME=180°-2∠A；

（3）①同（1）中思路一样可证得在当∠A为钝角时，原来（1）中的结论成立；② 当∠A为钝角时，由①可知，DM=ME=BM=MC，则∠MCE=∠MEC，∠MBD=∠MDB，由此可得∠BME=∠MEC+∠MCE=2∠MCE，∠CMD=∠MBD+∠MDB=2∠MBD，结合∠DME=180°-∠BME-∠CMD，可得∠DME=180°-2(∠MBD+∠MCE)，再结合∠MBD+∠MCE)=180°-∠A可得∠DME=2∠A-180°，从而可得原（2）中的结论不成立.

试题解析：

（1）如图，连接DM，ME，

∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，

∴DM=BC，ME=BC，

∴DM=ME，

又∵N为DE中点，

∴MN⊥DE；

（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，

∵DM=ME=BM=MC，

∴∠DBM=∠BDM，∠ECM=∠CEM，

∴∠BMD=180°-2∠DBM，∠CME=180°-2∠ECM，

∴∠BMD+∠CME=（180°-2∠ABC）+（180°-2∠ACB）=360°-2（∠ABC+∠ACB）=360°-2（180°-∠A）=2∠A，

∴∠DME=180°-2∠A；

（3）结论（1）成立， 结论（2）不成立，

理由如下：

①如图，连接DM，ME，

∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，

∴DM=BC，ME=BC，

∴DM=ME，

又∵N为DE中点，

∴MN⊥DE；

②由①可知，DM=ME=BM=MC，

∴∠MCE=∠MEC，∠MBD=∠MDB，

∴∠BME=∠MEC+∠MCE=2∠MCE，∠CMD=∠MBD+∠MDB=2∠MBD，

又∵∠DME=180°-∠BME-∠CMD，

∴∠DME=180°-2(∠MBD+∠MCE)，

又∵在△ABC中，∠MBD+∠MCE=180°-∠BAC

∴∠DME=180°-2(180°-∠BAC)=2∠BAC-180°.

∴（2）中原来的结论不成立.