题目内容

如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象与 轴交于A(,0),B(2,0),且与轴交于点C.


(1)求该抛物线的解析式,并判断△ABC的形状;
(2)点P是x轴下方的抛物线上一动点, 连接PO,PC,
并把△POC沿CO翻折,得到四边形,求出使四边形为菱形的点P的坐标;
(3) 在此抛物线上是否存在点Q,使得以A,C,B,Q四点为顶点的四边形是直角梯形?若存在, 求出Q点的坐标;若不存在,说明理由.

(1)抛物线的解析式为,△ABC是直角三角形
(2)P点的坐标为(,) 或(,
(3)存在,满足题目条件的点Q为()或(-,9)

解析试题分析:(1) 根据题意,将A(,0),B(2,0)代入中,解得
抛物线的解析式为      
=0时,. ∴点C的坐标为(-1,0).
∴在△AOC中,AC===
在△BOC中,BC===。 
AB=OA+OB=+2=,∵AC 2+BC 2=+5=="AB" 2
∴△ABC是直角三角形。              
(2) 设P点坐标为(x,),交CO于E
∵四边形POPC是菱形,∴PC=PO.
连结 则PE⊥CO于E,∴OE=EC= ∴=
=   解得==
∴P点的坐标为(,) 或(,
(3)存在。由(1)知,AC^BC,设Q点坐标为(
①若以BC为底边,则BC//AQ,∴∠ABC=∠QAB  如图① 
过点Q作QE⊥x轴于点E,则有△QAE∽△ABC  ∴
∴      解得1=   2= -(舍去)。
=时,y= ,∴点Q()。   
k若以AC为底边,则BQ//AC,∴∠CAB=∠QBA
过点Q作QF⊥x轴于点F,则有△QBF∽△BAC  ∴
     解得1=   2=" 2" (舍去)。
=时,y=9,∴点Q(,9)。   
综上所述,满足题目条件的点Q为()或(-,9)。
考点:抛物线,勾股定理逆定理,相似三角形
点评:本题考查抛物线,勾股定理逆定理,相似三角形,解答本题需要考生掌握待定系数法,会用待定系数法求抛物线的解析式,熟悉勾股定理逆定理,会用其来判定一个三角形是否是直角三角形,掌握相似三角形的方法,会证明两个三角形相似

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