题目内容

【题目】如图1,点分别是边长为的等边上的动点,点从顶点,点从顶点同时出发,且它们的速度都为

(1)连接交于点,则在运动的过程中,变化吗?若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数;

(2)何时是直角三角形?

(3)如图2,若点在运动到终点后继续在射线上运动,直线交点为.变化吗?若变化。则说明理由, 若不变,则求出它的度数.

【答案】1)不变,;(2)当第秒或第秒时,△PBQ为直角三角形;(3)不变,120°.

【解析】

1)因为点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发,且它们的速度都为1cm/s,所以APBQABAC,∠B=∠CAP60°,因而运用边角边定理可知ABQ≌△CAP.再用全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理,可求得CQM的度数.

2)设时间为t,则APBQtPB4t.分别就①当∠PQB90°时;②当∠BPQ90°时利用直角三角形的性质定理求得t的值.

3)首先利用边角边定理证得PBC≌△QCA,再利用全等三角形的性质定理得到∠BPC=∠MQC.再运用三角形角间的关系求得∠CMQ的度数.

解:(1)∠CMQ60°不变.

∵等边三角形中,ABAC,∠B=∠CAP60°

又由条件得APBQ

∴△ABQ≌△CAPSAS),

∴∠BAQ=∠ACP

∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC60°

2)设时间为t,则APBQtPB4t

①当∠PQB90°时,

∵∠B60°

PB2BQ,得4t2tt

②当∠BPQ90°时,

∵∠B60°

BQ2BP,得t24t),t

∴当第秒或第秒时,△PBQ为直角三角形.

3)∠CMQ120°不变.

∵在等边三角形中,BCAC,∠B=∠CAP60°

∴∠PBC=∠ACQ120°

又由条件得BPCQ

∴△PBC≌△QCASAS

∴∠BPC=∠MQC

又∵∠PCB=∠MCQ

∴∠CMQ=∠PBC180°60°120°

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