题目内容
【题目】如图1,点,
分别是边长为
的等边
边
,
上的动点,点
从顶点
,点
从顶点
同时出发,且它们的速度都为
(1)连接,
交于点
,则在
,
运动的过程中,
变化吗?若变化,则说明理由,若不变,则求出它的度数;
(2)何时是直角三角形?
(3)如图2,若点,
在运动到终点后继续在射线
,
上运动,直线
,
交点为
.则
变化吗?若变化。则说明理由, 若不变,则求出它的度数.
【答案】(1)不变,;(2)当第
秒或第
秒时,△PBQ为直角三角形;(3)不变,120°.
【解析】
(1)因为点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发,且它们的速度都为1cm/s,所以AP=BQ.AB=AC,∠B=∠CAP=60°,因而运用边角边定理可知△ABQ≌△CAP.再用全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理,可求得CQM的度数.
(2)设时间为t,则AP=BQ=t,PB=4t.分别就①当∠PQB=90°时;②当∠BPQ=90°时利用直角三角形的性质定理求得t的值.
(3)首先利用边角边定理证得△PBC≌△QCA,再利用全等三角形的性质定理得到∠BPC=∠MQC.再运用三角形角间的关系求得∠CMQ的度数.
解:(1)∠CMQ=60°不变.
∵等边三角形中,AB=AC,∠B=∠CAP=60°
又由条件得AP=BQ,
∴△ABQ≌△CAP(SAS),
∴∠BAQ=∠ACP,
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°.
(2)设时间为t,则AP=BQ=t,PB=4t
①当∠PQB=90°时,
∵∠B=60°,
∴PB=2BQ,得4t=2t,t=;
②当∠BPQ=90°时,
∵∠B=60°,
∴BQ=2BP,得t=2(4t),t=;
∴当第秒或第
秒时,△PBQ为直角三角形.
(3)∠CMQ=120°不变.
∵在等边三角形中,BC=AC,∠B=∠CAP=60°
∴∠PBC=∠ACQ=120°,
又由条件得BP=CQ,
∴△PBC≌△QCA(SAS)
∴∠BPC=∠MQC
又∵∠PCB=∠MCQ,
∴∠CMQ=∠PBC=180°60°=120°

【题目】2018年8月1日,郑州市物价局召开居民使用天然气销售价格新闻通气会,宣布郑州市天然气价格调整方案如下:
一户居民一个月天然气用量的范围 | 天然气价格(单位:元/立方米) |
不超过50立方米 | 2.56 |
超过50立方米的部分 | 3.33 |
(1)若张老师家9月份使用天然气36立方米,则需缴纳天然气费为______元;
(2)若张老师家10月份使用天然气立方米,则需缴纳的天然气费为_______元;
(3)依此方案计算,若张老师家11月份实际缴纳天然气费201.26元,求张老师家11月份使用天然气多少立方米?