题目内容

【题目】菱形ABCD中,两条对角线AC,BD相交于点O,∠MON+∠BCD=180°,∠MON绕点O旋转,射线OM交边BC于点E,射线ON交边DC于点F,连接EF.
(1)如图1,当∠ABC=90°时,△OEF的形状是

(2)如图2,当∠ABC=60°时,请判断△OEF的形状,并说明理由;

(3)在(1)的条件下,将∠MON的顶点移到AO的中点O′处,∠MO′N绕点O′旋转,仍满足∠MO′N+∠BCD=180°,射线O′M交直线BC于点E,射线O′N交直线CD于点F,当BC=4,且 = 时,直接写出线段CE的长.

【答案】
(1)等腰直角三角形
(2)△OEF是等边三角形;

证明:如图2,过O点作OG⊥BC于G,作OH⊥CD于H,

∴∠OGE=∠OGC=∠OHC=90°,

∵四边形ABCD是菱形,

∴CA平分∠BCD,∠ABC+BCD=180°,

∴OG=OH,∠BCD=180°﹣60°=120°,

∵∠GOH+∠OGC+∠BCD+∠OHC=360°,

∴∠GOH+∠BCD=180°,

∴∠MON+∠BCD=180°,

∴∠GOH=∠EOF=60°,

∵∠GOH=∠GOF+∠FOH,∠EOF=∠GOF+∠EOG,

∴∠EOG=∠FOH,

在△EOG与△FOH中,

∴△EOG≌△FOH(ASA),

∴OE=OF,

∴△OEF是等边三角形


(3)证明:如图3,

∵菱形ABCD中,∠ABC=90°,

∴四边形ABCD是正方形,

=

过O点作O′G⊥BC于G,作O′H⊥CD于H,

∴∠O′GC=∠O′HC=∠BCD=90°,

∴四边形O′GCH是矩形,

∴O′G∥AB,O′H∥AD,

= = =

∵AB=BC=CD=AD=4,

∴O′G=O′H=3,

∴四边形O′GCH是正方形,

∴GC=O′G=3,∠GO′H=90°

∵∠MO′N+∠BCD=180°,

∴∠EO′F=90°,

∴∠EO′F=∠GO′H=90°,

∵∠GO′H=∠GO′F+∠FO′H,∠EO′F=∠GO′F+∠EO′G,

∴∠EO′G=∠FO′H,

在△EO′G与△FO′H中,

∴△EO′G≌△FO′H(ASA),

∴O′E=O′F,

∴△O′EF是等腰直角三角形;

∵S正方形ABCD=4×4=16, =

∴SO′EF=18,

∵SO′EF= O′E2

∴O′E=6,

在RT△O′EG中,EG= = =3

∴CE=CG+EG=3+3

根据对称性可知,当∠M′ON′旋转到如图所示位置时,

CE′=E′G﹣CG=3 ﹣3.

综上可得,线段CE的长为3+3 或3 ﹣3.


【解析】(1)△OEF是等腰直角三角形;

证明:如图1,

∵菱形ABCD中,∠ABC=90°,

∴四边形ABCD是正方形,

∴OB=OC,∠BOC=90°,∠BCD=90°,∠EBO=∠FCO=45°,

∴∠BOE+∠COE=90°,

∵∠MON+∠BCD=180°,

∴∠MON=90°,

∴∠COF+∠COE=90°,

∴∠BOE=∠COF,

在△BOE与△COF中,

∴△BOE≌△COF(ASA),

∴OE=OF,

∴△OEF是等腰直角三角形;
(2)△OEF是等边三角形;

证明:如图2,过O点作OG⊥BC于G,作OH⊥CD于H,

∴∠OGE=∠OGC=∠OHC=90°,

∵四边形ABCD是菱形,

∴CA平分∠BCD,∠ABC+BCD=180°,

∴OG=OH,∠BCD=180°﹣60°=120°,

∵∠GOH+∠OGC+∠BCD+∠OHC=360°,

∴∠GOH+∠BCD=180°,

∴∠MON+∠BCD=180°,

∴∠GOH=∠EOF=60°,

∵∠GOH=∠GOF+∠FOH,∠EOF=∠GOF+∠EOG,

∴∠EOG=∠FOH,

在△EOG与△FOH中,

∴△EOG≌△FOH(ASA),

∴OE=OF,

∴△OEF是等边三角形
(3)证明:如图3,

∵菱形ABCD中,∠ABC=90°,

∴四边形ABCD是正方形,

=

过O点作O′G⊥BC于G,作O′H⊥CD于H,

∴∠O′GC=∠O′HC=∠BCD=90°,

∴四边形O′GCH是矩形,

∴O′G∥AB,O′H∥AD,

= = =

∵AB=BC=CD=AD=4,

∴O′G=O′H=3,

∴四边形O′GCH是正方形,

∴GC=O′G=3,∠GO′H=90°

∵∠MO′N+∠BCD=180°,

∴∠EO′F=90°,

∴∠EO′F=∠GO′H=90°,

∵∠GO′H=∠GO′F+∠FO′H,∠EO′F=∠GO′F+∠EO′G,

∴∠EO′G=∠FO′H,

在△EO′G与△FO′H中,

∴△EO′G≌△FO′H(ASA),

∴O′E=O′F,

∴△O′EF是等腰直角三角形;

∵S正方形ABCD=4×4=16, =

∴SO′EF=18,

∵SO′EF= O′E2

∴O′E=6,

在RT△O′EG中,EG= = =3

∴CE=CG+EG=3+3

根据对称性可知,当∠M′ON′旋转到如图所示位置时,

CE′=E′G﹣CG=3 ﹣3.

综上可得,线段CE的长为3+3 或3 ﹣3.

所以答案是:(1)等腰直角三角形;(2)见解答过程;(3)3+3 或3 ﹣3.

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