题目内容
【题目】菱形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，∠MON+∠BCD=180°，∠MON绕点O旋转，射线OM交边BC于点E，射线ON交边DC于点F，连接EF．
（1）如图1，当∠ABC=90°时，△OEF的形状是；
（2）如图2，当∠ABC=60°时，请判断△OEF的形状，并说明理由；
（3）在（1）的条件下，将∠MON的顶点移到AO的中点O′处，∠MO′N绕点O′旋转，仍满足∠MO′N+∠BCD=180°，射线O′M交直线BC于点E，射线O′N交直线CD于点F，当BC=4，且 
= 
时，直接写出线段CE的长．
【答案】
（1）等腰直角三角形
（2）△OEF是等边三角形；
证明：如图2，过O点作OG⊥BC于G，作OH⊥CD于H，
∴∠OGE=∠OGC=∠OHC=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CA平分∠BCD，∠ABC+BCD=180°，
∴OG=OH，∠BCD=180°﹣60°=120°，
∵∠GOH+∠OGC+∠BCD+∠OHC=360°，
∴∠GOH+∠BCD=180°，
∴∠MON+∠BCD=180°，
∴∠GOH=∠EOF=60°，
∵∠GOH=∠GOF+∠FOH，∠EOF=∠GOF+∠EOG，
∴∠EOG=∠FOH，
在△EOG与△FOH中，
，
∴△EOG≌△FOH（ASA），
∴OE=OF，
∴△OEF是等边三角形
（3）证明：如图3，
∵菱形ABCD中，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴ 
= 
，
过O点作O′G⊥BC于G，作O′H⊥CD于H，
∴∠O′GC=∠O′HC=∠BCD=90°，
∴四边形O′GCH是矩形，
∴O′G∥AB，O′H∥AD，
∴ 
= 
= = ，
∵AB=BC=CD=AD=4，
∴O′G=O′H=3，
∴四边形O′GCH是正方形，
∴GC=O′G=3，∠GO′H=90°
∵∠MO′N+∠BCD=180°，
∴∠EO′F=90°，
∴∠EO′F=∠GO′H=90°，
∵∠GO′H=∠GO′F+∠FO′H，∠EO′F=∠GO′F+∠EO′G，
∴∠EO′G=∠FO′H，
在△EO′G与△FO′H中，
，
∴△EO′G≌△FO′H（ASA），
∴O′E=O′F，
∴△O′EF是等腰直角三角形；
∵S正方形ABCD=4×4=16， 
= 
，
∴S△O′EF=18，
∵S△O′EF= 
O′E2，
∴O′E=6，
在RT△O′EG中，EG= 
= 
=3 
，
∴CE=CG+EG=3+3 ．
根据对称性可知，当∠M′ON′旋转到如图所示位置时，
CE′=E′G﹣CG=3 ﹣3．
综上可得，线段CE的长为3+3 或3 ﹣3．
【解析】（1）△OEF是等腰直角三角形；
证明：如图1，
∵菱形ABCD中，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠BOC=90°，∠BCD=90°，∠EBO=∠FCO=45°，
∴∠BOE+∠COE=90°，
∵∠MON+∠BCD=180°，
∴∠MON=90°，
∴∠COF+∠COE=90°，
∴∠BOE=∠COF，
在△BOE与△COF中，
，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，
∴△OEF是等腰直角三角形；
（2）△OEF是等边三角形；
证明：如图2，过O点作OG⊥BC于G，作OH⊥CD于H，
∴∠OGE=∠OGC=∠OHC=90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CA平分∠BCD，∠ABC+BCD=180°，
∴OG=OH，∠BCD=180°﹣60°=120°，
∵∠GOH+∠OGC+∠BCD+∠OHC=360°，
∴∠GOH+∠BCD=180°，
∴∠MON+∠BCD=180°，
∴∠GOH=∠EOF=60°，
∵∠GOH=∠GOF+∠FOH，∠EOF=∠GOF+∠EOG，
∴∠EOG=∠FOH，
在△EOG与△FOH中，
，
∴△EOG≌△FOH（ASA），
∴OE=OF，
∴△OEF是等边三角形
（3）证明：如图3，
∵菱形ABCD中，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴ = ，
过O点作O′G⊥BC于G，作O′H⊥CD于H，
∴∠O′GC=∠O′HC=∠BCD=90°，
∴四边形O′GCH是矩形，
∴O′G∥AB，O′H∥AD，
∴ = = = ，
∵AB=BC=CD=AD=4，
∴O′G=O′H=3，
∴四边形O′GCH是正方形，
∴GC=O′G=3，∠GO′H=90°
∵∠MO′N+∠BCD=180°，
∴∠EO′F=90°，
∴∠EO′F=∠GO′H=90°，
∵∠GO′H=∠GO′F+∠FO′H，∠EO′F=∠GO′F+∠EO′G，
∴∠EO′G=∠FO′H，
在△EO′G与△FO′H中，
，
∴△EO′G≌△FO′H（ASA），
∴O′E=O′F，
∴△O′EF是等腰直角三角形；
∵S正方形ABCD=4×4=16， = ，
∴S△O′EF=18，
∵S△O′EF= O′E2，
∴O′E=6，
在RT△O′EG中，EG= = =3 ，
∴CE=CG+EG=3+3 ．
根据对称性可知，当∠M′ON′旋转到如图所示位置时，
CE′=E′G﹣CG=3 ﹣3．
综上可得，线段CE的长为3+3 或3 ﹣3．
所以答案是：（1）等腰直角三角形；（2）见解答过程；（3）3+3 或3 ﹣3．
