题目内容
【题目】如图,已知⊙O的半径长为1,AB、AC是⊙O的两条弦,且AB=AC,BO的延长线交AC于点D,联结OA、OC.
(1)求证:△OAD∽△ABD;
(2)当△OCD是直角三角形时,求B、C两点的距离;
(3)记△AOB、△AOD、△COD 的面积分别为S1、S2、S3 , 如果S2是S1和S3的比例中项,求OD的长.
【答案】
(1)
证明:如图1中,
在△AOB和△AOC中,
,
∴△AOB≌△AOC,
∴∠C=∠B,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠C=∠B,∵∠ADO=∠ADB,
∴△OAD∽△ABD
(2)
解:如图2中,
∵BD⊥AC,OA=OC,
∴AD=DC,
∴BA=BC=AC,
∴△ABC是等边三角形,
在Rt△OAD中,∵OA=1,∠OAD=30°,
∴OD= OA=
,
∴AD= =
,
∴BC=AC=2AD=
(3)
解:如图3中,作OH⊥AC于H,设OD=x.
∵△DAO∽△DBA,
∴ =
=
,
∴ =
=
,
∴AD= ,AB=
,
∵S2是S1和S3的比例中项,
∴S22=S1S3,
∵S2= ADOH,S1=S△OAC=
ACOH,S3=
CDOH,
∴( ADOH)2=
ACOH
CDOH,
∴AD2=ACCD,
∵AC=AB.CD=AC﹣AD= ﹣
,
∴( )2=
(
﹣
),
整理得x2+x﹣1=0,
解得x= 或
,
经检验:x= 是分式方程的根,且符合题意,
∴OD=
【解析】(1)由△AOB≌△AOC,推出∠C=∠B,由OA=OC,推出∠OAC=∠C=∠B,由∠ADO=∠ADB,即可证明△OAD∽△ABD;(2)如图2中,当△OCD是直角三角形时,可以证明△ABC是等边三角形即可解决问题;(3)如图3中,作OH⊥AC于H,设OD=x.想办法用x表示AD、AB、CD,再证明AD2=ACCD,列出方程即可解决问题;
